Unidad 7

“Derivada”

Velocidades, razones de cambio, estudio de funciones

Teoría

1. Velocidad Media: RAZÓN DE CAMBIO

2. Resolvemos:

Luego de ver el primer video y de trabajar con el problema 1, resuelvan los problemas 2, 3 y 4 que están relacionados. Resuelvan también el problema 5.

3. Algo de lectura: En este capítulo se explica con ejemplos qué es la derivada y se establece una definición teórica.

4. Resolvemos:

Resuelvan en grupos los problemas 6 y 7, para comprender mejor la definición de derivada.

5. Reglas de derivación: DERIVADA DE FUNCIONES POLINÓMICAS

6. Recta tangente y derivada: Recta tangente, velocidad, propiedades

7. Leemos y Resolvemos:

Luego de ver los videos, lean el recuadro del problema 8 y también el texto que se encuentra en este enlace.  Resuelvan los problemas 8 al 15 de la unidad.

8. Más problemas:

Resuelvan los problemas 16 y 17 para comprender mejor las reglas de derivación.

Genially Derivadas

Noción y cálculo de derivada:

Problema 1.

        Supongamos que el espacio recorrido por un móvil en función del tiempo está dado por la fórmula , se quiere calcular la velocidad media del móvil en diferentes instantes de tiempo.

1. Calcular la velocidad media entre los instantes  y .
2. Calcular la velocidad media entre los instantes  y  para diferentes valores de .

Problema 2. ()

         En la Luna la aceleración de la gravedad es seis veces menor que en la Tierra. Un cañón ubicado en la superficie lunar disparó una pelota hacia arriba. La fórmula que describe la altura  de la pelotita (medida en metros) en función del tiempo  (medido en segundos) es:

1. ¿En qué momento alcanza la pelota su altura máxima? ¿Cuál es esa altura y cuál es la velocidad de la pelotita en ese momento?
2. Determinen dos instantes de tiempo entre los cuales la velocidad media de la pelota haya estado entre  y .

Problema 3. ()

         En este problema se propone una construcción para hacer en GeoGebra y conocer nuevos recursos del programa que permitirán ilustrar la idea de velocidad instantánea que venimos discutiendo.

1. Observen la figura y respondan:

1. Se sabe que la parábola de la figura responde a la ecuación de Problema 2. ¿Qué cuentas hay que hacer para obtener el número 2,33 que se lee en el cartel de la figura? Escriban una sola expresión que contenga a todas las cuentas involucradas.
2. La parábola es el gráfico de la altura de la pelotita en función del tiempo. ¿Cuál es la interpretación física del número 2,33 del mencionado cartel?.

2. Realicen en GeoGebra una construcción dinámica con el aspecto de esta figura. La construcción será dinámica porque deben conseguir que los puntos A y B se puedan mover –mediante el mouse– de derecha a izquierda sobre el eje x, , de manera que todos los elementos de la figura se muevan junto con ellos. Antes de pensar en la construcción, anticipen: ¿Cómo se modificará la figura si los puntos A y B se ubican en las posiciones  y ?.  Utilicen la siguiente figura para realizar a mano un dibujo que los ayude a responder.

Problema 4.

        Retomando el Problema 2 respondan las siguientes preguntas.

1. ¿Existe algún momento en que su velocidad haya sido exactamente ?.
2. ¿Qué velocidad tenía la pelotita a los ?.
3.  ¿Cuál es la velocidad inicial de la pelota? ¿Existe algún momento en que la pelota vuelva a alcanzar la misma velocidad?.
4. Investiguen cómo puede ser una función que indique, en cada instante de tiempo, la velocidad de la pelota.

Problema 5. ()

         Maxi sale de su casa a dar un paseo en bicicleta. El gráfico muestra la posición de Maxi (respecto de su casa que está en el  y medida en kilómetros) en función del tiempo (medido en horas).

Observen el gráfico y respondan las siguientes preguntas:

1. ¿En qué intervalos de tiempo Maxi se alejaba de su casa y en cuáles se acercaba?.
2. ¿En qué instantes su velocidad fue ?.
3. ¿En qué intervalos de tiempo su velocidad fue positiva y en cuáles fue negativa? ¿Qué interpretación tiene en este contexto una velocidad negativa?.
4.  Buscando coherencia con las respuestas anteriores, dibujen a mano un gráfico aproximado de la velocidad en función del tiempo.
5. Mirando la vista algebraica, observamos que la función del problema responde a la fórmula . Determinen la fórmula de la función derivada  y vuelvan a analizar las preguntas anteriores considerando la información que  les puede brindar.

Problema 6.

        Cada una de las siguientes funciones describe la posición de un automóvil en función del tiempo. Considérense para .

Deduzcan en cada caso la función que da la velocidad del automóvil en cada instante .

Problema 7.

         Inventen dos funciones polinómicas que sean distintas, pero que tengan la misma derivada.

Problema 8.

        Lean el siguiente recuadro:

Consideren la función .

1. Escriban la ecuación de la recta que es tangente al gráfico de  en el punto .
2. Lo mismo que en el ítem anterior, pero en el punto .
3. ()  Grafiquen en GeoGebra  y las dos rectas halladas para verificar la tangencia.

Problema 9.

        La recta tangente al gráfico de una cierta función  en  tiene ecuación .

1. ¿Cuánto vale ?.
2. Si en  la recta tangente tiene ecuación:

¿Cuánto vale ?.

3. ¿Cómo puede ser la fórmula de la función ?.

Problema 10.

        En una autopista hay una limitación de velocidad de . Un automóvil la recorre de manera que su posición (medida en kilómetros) en función de tiempo (medido en horas) viene dada por:

¿Cumple con la reglamentación de velocidad?.

Problema 11.

El siguiente gráfico corresponde a alguna función  de cuya fórmula no podemos acordarnos.

Problema 12. ()

        Ejercicio de imaginación con lápiz y papel:

1. Teniendo en cuenta que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en ese punto, piensen cómo puede ser el gráfico de una función , tal que  para todos los valores de . Si después de cinco minutos no se les ocurre nada de nada, pasen a la parte .
2. Expliquen por qué ninguna de las funciones cuyos gráficos se muestran a continuación es igual a su propia derivada.

3. Si no salieron antes de discutir estos gráficos, vuelvan al ítem .

Problema 13. ()

        Para resolver una vez que esté muy pensado y desarrollado el Problema 12.

1. Realicen la siguiente construcción en GeoGebra:

1. Construyan un deslizador  que vaya de 0,5 a 4.
2. Definan por barra de entrada la función f(x)=a^x, es decir, .
3. Utilicen el comando Derivada[] para definir la función  mediante Derivada[f].

2. Observen que, al mover el deslizador , como es de esperar, varían tanto el gráfico de  como el de . Utilicen este recurso para buscar una función cuya derivada sea igual a la función misma.

Problema 14 ().

        Observen los gráficos de las funciones  y  que se muestran a continuación y utilicen los sistemas de coordenadas vacíos que están debajo de cada uno, para graficar aproximadamente cómo piensan que deberían ser  y .

Problema 15 ().

        Utilicen el comando Derivada(<Función>) de GeoGebra para calcular las derivadas de las funciones del problema anterior y comparen con los gráficos que supusieron.

Problema 16.

        Recuerden que la derivada de  es .

1. Calcule la derivada de cada una de las funciones del Problema 6.
2. () Utilicen el comando Derivada[] en GeoGebra para verificar las derivaciones realizadas en el ítem .

Problema 17.

        Lean el siguiente recuadro:

Calculen la derivada de cada una de las siguientes funciones:

Problema 18.

        La ley de Boyle para los gases ideales establece que cuando se comprime una muestra de gas y la temperatura no varía, el producto  se mantiene constante, donde  y  son la presión y el volumen del gas en función del tiempo (medido en minutos), respectivamente. Suponga que en cierto instante, el volumen es de , la presión es de  y ésta aumenta a razón de . ¿Con qué razón disminuye el volumen en ese instante?.

Problema 19.

        Cortando cuadrados iguales de las esquinas de una plancha de cartón de , el cartón puede plegarse para formar una caja.

Problema 20.

Lean el siguiente recuadro:

Vuelvan al Problema 5 y observen el gráfico. Identifiquen gráficamente los extremos absolutos de la función y describan su significado en el contexto del problema.

Problema 21.

Encuentren los extremos locales de cada una de las siguientes funciones. ¿Son máximos o mínimos locales? ¿Cómo lo pueden decidir?.

1. .
2. 
3. 

Problema 22.

De todos los rectángulos de área  determinen, si es posible, el rectángulo que tenga menor perímetro.

Problema 23.

Se desea fabricar una caja sin tapa, de base cuadrada. El material para fabricar las caras laterales cuesta  y el del fondo –que debe ser más rígido– cuesta . ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de volumen máximo que se puede construir con un presupuesto de ?.

Problema 24.

Hallen una ecuación de la recta que pasa por el punto  y forma en el primer cuadrante un triángulo de área mínima.

Problema 25.

Una pista de atletismo consta de una zona rectangular y un semicírculo en cada uno de sus extremos. Si el perímetro de la pista ha de ser , calculen las dimensiones que hacen máxima el área de la zona rectangular. ¿Cuál es el área total de la pista?.

Problema 26.

Determinen las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden  y , si el rectángulo tiene un vértice en el ángulo recto del triángulo y otro vértice en la hipotenusa del triángulo.

Problema 27.

Un rectángulo tiene un vértice en , un lado sobre el eje  y otro lado sobre el eje . El vértice opuesto a  está sobre la parábola de ecuación  con . ¿Cuál es el área máxima posible para el rectángulo?

Problema 28.

Cierta función  verifica las siguientes dos condiciones:

1. Inventen una posible fórmula para .
2. Si  representa la posición de un vehículo en función del tiempo, ¿Qué significan las condiciones (i) y (ii) de la pregunta (a)?.

Problema 29.

Observando el gráfico de la función :

1. Identifiquen un intervalo en el que se cumplan las siguientes condiciones:

 y .

2. identifiquen otro intervalo en el que se cumplan estas otras dos condiciones:

 y .

3. Dibujen el gráfico de una función  que cumpla las condiciones:

 y .

En el intervalo abierto  y que además tenga un mínimo local en .

Problema 30.

Cierta función  verifica las siguientes dos condiciones:

1. Inventen una posible fórmula para .
2. Si  representa la cantidad de agua que sale por una canilla en función del tiempo, ¿qué significan las condiciones (i) y (ii) anteriores?

Problema 31.

Un automóvil viaja por una ruta. La posición del auto sobre la ruta (medida en ) entre dos momentos determinados (medidos en ) está descrita por la función:

1. Identifiquen cuáles son esos dos momentos y calculen la cantidad de kilómetros que recorrió el automóvil durante el tiempo transcurrido entre ellos.
2. Determinen a qué velocidad viajaba el automóvil a los 7 minutos.
3. Determinen si es cierto que durante ese período el auto viaja cada vez más lento.

Composición de funciones y regla de la cadena

Problema 32.

1. En la atmósfera terrestre existe un gradiente térmico variable en función de la altitud respecto del nivel del mar. Para los primeros  de altura sobre el nivel del mar se calcula que la temperatura disminuye  por cada  de altura (a mayor altura, menor temperatura). Determinen, dando su fórmula y su dominio, la función  que da la temperatura  para cada altura  sobre el nivel del mar, en un lugar donde la temperatura a la altura del nivel del mar es de .
2. La altura adecuada para practicar saltos de paracaidismo es de unos . Si fuera menor el tiempo de caída libre sería demasiado breve y si fuera mayor el paracaidista podría llegar a necesitar tubos de oxígeno para poder respirar.

Supongamos que un avión sobrevuela a 4000 m de altura el lugar mencionado en el ítem anterior y que en ese momento un paracaidista salta al vacío. Si suponemos su caída libre sin rozamiento con el aire, la altura en función de tiempo estará modelada por , donde  es el tiempo medido en segundos.

El paracaidista lleva un termómetro como parte de su equipo. ¿Qué temperatura marcará al momento de abrir el paracaídas, teniendo en cuenta que debe abrirlo  antes de llegar al piso?

3. Determinen, dando su fórmula y su dominio, la función que da la temperatura para cada instante de tiempo, desde el momento en que el paracaidista salta del avión, durante todo el tiempo que dura su caída libre.
4. Grafiquen las tres funciones involucradas en los ítems anteriores. Expliquen si tiene sentido o no construir los gráficos en un mismo sistema de ejes cartesianos.

Problema 33.

El modelo matemático de la caída libre del paracaidista dado en el Problema 32 se puede mejorar porque es un modelo que no tiene en cuenta el rozamiento con el aire. Un modelo más preciso que sí considera la fuerza de rozamiento viene dado por la función:

1. ¿Cuánto tiempo de caída libre tiene el paracaidista, si tiene que abrir su paracaídas  antes del piso?
2. Igual que en el Problema 32 determinen, dando su fórmula y su dominio, la función que da la temperatura para cada instante de tiempo, desde el momento en que el paracaidista salta del avión, durante todo el tiempo que dura su caída libre.

Problema 34. ()

        Trabajen, este problema y el siguiente, inicialmente en forma mental, intentando anticipar cómo serán las fórmulas de las distintas composiciones y sus gráficas. Luego escríbalas en sus cuadernos/carpetas y finalmente resuélvelo utilizando GeoGebra. Si no obtienen los mismos resultados analicen y averigüen por qué ocurre esa discrepancia.

Dadas las funciones:

1. Calculen las composiciones , , , ,  y .
2. Para trabajar en las próximas dos preguntas inventen nuevos polinomios y compártelos con sus compañeros y docentes.
3. ¿Pueden deducir cuál será el orden del polinomio que resulte de hacer una composición de dos polinomios? ¿Qué resultado puede conjeturar?.
4. ¿Pueden establecer algún resultado que relacione las cantidades de raíces de las funciones con la cantidad de raíces de la composición?.
5. Escriban sus conjeturas en sus cuadernos/carpetas y muestraselas a tus compañeros y docentes. Escriban argumentaciones defendiendo la corrección de las mismas. Anticipen cuáles podrían ser las objeciones de los demás y preparen sus argumentaciones para defenderlas.

Problema 35.

Lean el siguiente recuadro:

Para las siguientes funciones compuestas:

1. Descomponerlas en las funciones elementales que las componen e ilustren el orden de la composición en un diagrama conmutativo.
2. Calculen sus derivadas y enumeren las propiedades que aplican.

Problema 36. ()

Dadas las funciones:

1. Calculen las composiciones , , , , .
2. Calculen las derivadas de las composiciones del ítem anterior.
3. Calculen las composiciones , .
4. Calculen las derivadas de las composiciones del ítem anterior.

Problema 37.

        Lean el siguiente recuadro:

En casi cualquier libro de cálculo infinitesimal encontrarán listados de funciones compuestas para practicar técnica de derivación. Intenten, por ejemplo, calcular las derivadas de los problemas 1 al 18 de la página 252 y problemas 1 al 27 de la página 253 del libro Cálculo Aplicado de Hughes-Hallet. En la segunda edición [7] son los problemas 1 al 18 de la página 156 y 1 al 36 de la página 157. No es necesario que hagan todas, sólo deben hacer la cantidad suficiente hasta que sientan que la técnica de derivación y sus propiedades no tiene misterios para ustedes.

Estudio de funciones

Observación 1.

Al final de esta sección, (ver página 90), se reproduce parte del texto del libro Cálculo Aplicado de Hughes-Hallet, como apoyo teórico a los contenidos de esta unidad. Este material se puede leer antes, durante o después de intentar resolver los problemas. Completa los apuntes que puedan tomar de los temas trabajados en clase y tienen también ejemplos desarrollados. Está incluido en la guía también con el objetivo de acercar a los estudiantes lecturas que vayan más allá del desarrollo de las clases. En el mejor de los casos, aprenderán a aprovechar estas lecturas, se acercarán a la biblioteca para conocer el libro completo y/o para explorar otros libros de la bibliografía que les permitan profundizar en los contenidos de la materia.

Problema 38.

        Supongamos que se vierte agua en un florero como el de la figura, a una razón constante medida en litros por minuto.

Problema 39.

        Repita el problema anterior para cada uno de los siguientes floreros.

Problema 40. 

En los siguientes gráficos, localiza aproximadamente todos los puntos de inflexión.

Problema 41. ()

Den valores a las constantes  , ,  y  y analicen las funciones:

1. 
2.  (Esta función recibe el nombre de bicuadrática).

        Hallando:

• Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
• Conjunto de raíces.
• Conjunto de puntos de inflexión.
• Conjuntos de positividad y negatividad.

Problema 42.

        En cada uno de las siguientes funciones, utilicen la primera derivada para hallar todos los puntos críticos y la segunda derivada para identificar todos los puntos de inflexión. Utilicen un gráfico para identificar cada uno de los puntos críticos como un máximo local, un mínimo local, o ninguno de éstos.

Problema 43. ()

        La función  describe la temperatura, expresada en grados centígrados, de un líquido en función del tiempo, expresado en horas,  hasta que alcanza los .

1. Determinen los momentos en los que la temperatura aumenta y los momentos en los que la temperatura disminuye.
2. ¿En qué momentos la temperatura alcanza un máximo o un mínimo relativo?.
3. Realicen un gráfico aproximado de .

Problema 44. ()()

        La función  representa la posición de un móvil en función del tiempo (en ciertas unidades de longitud y de tiempo). Responder las siguientes preguntas explicando cómo pueden llegar a la respuesta utilizando el recurso de GeoGebra y sin utilizarlo.

1. ¿En qué instante el móvil estuvo más alejado de su punto de partida? (¿Cómo se ve esto en el gráfico de ? ¿Cómo se deduce analíticamente?).
2. ¿En qué instante alcanzó su máxima velocidad? (¿Cómo se ve esto en el gráfico de ? ¿Cómo se ve esto en el gráfico de ? ¿Cómo se deduce analíticamente?).
3. ¿En qué instante alcanzó su máxima aceleración? (¿Cómo se ve esto en el gráfico de ? ¿Cómo se ve esto en el gráfico de ? ¿Cómo se ve esto en el gráfico de ? ¿Cómo se deduce analíticamente?).
4. ¿Qué interpretación tienen los signos (positivo o negativo) que aparecen en cada cálculo de los ítems anteriores, en relación a la posición del vehículo, a su velocidad y a su aceleración?.
5. La intensidad de señal de telefonía celular depende de la posición  en la ruta y viene dada por .

1. ¿Cuál es el dominio de la función  en el contexto de este problema?.
2. ¿Cuándo tiene el móvil señal de telefonía máxima y cuándo mínima?.

Problema 45.

La función  tiene derivada en todos los puntos y sólo un punto crítico en . En los incisos  a  se indican condiciones adicionales. En cada caso, decidan si  es un máximo local, mínimo local o ninguno. Expliquen sus razonamientos y tracen una gráfica posible en cada caso.

1.  y
2.  y .
3. , , , .
4. ,  y .

Problema 46.

        Dada la función  que cumple las siguientes condiciones:

•  es continua y derivable en .
•  y .
•  y .
•  y
• La recta  es una asíntota de .
•  tiene un máximo relativo en  y un mínimo relativo en .
•  tiene una raíz en el intervalo .
•  es positiva en .
•  es positiva en .

1. Representen la gráfica de la función  y de su derivada .
2. Decidan si alguna de estas condiciones es redundante y expliquen cómo se puede deducir a partir de las demás.
3. Propongan alguna fórmula que pueda cumplir las condiciones enunciadas arriba.

Problema 47.

        Tracen una posible gráfica de , utilizando la información que se ofrece sobre las derivadas  y ; suponiendo que la función  es continua y está definida para todo .

Problema 48.

        ¿Es posible que una función polinómica de grado 3 no tenga punto de inflexión? ¿por qué?.

Problema 49.

         Durante una inundación, los habitantes de un pueblo observaron alarmados que el nivel del agua subía cada vez más rápido. Luego siguió subiendo, pero cada vez más lentamente hasta que llegó a su punto máximo; después bajó al nivel que tenía antes de la inundación. Si consideramos la función p que mide la profundidad del agua en función del tiempo :

1. El tiempo para el cual se alcanza el máximo nivel de agua, ¿es un punto crítico de  o un punto de inflexión?.
2. El momento en el cual el agua empezó a subir con más lentitud, ¿es un punto crítico de , un punto de inflexión o ninguno de los dos?.

Concavidad y puntos de inflexión

Problema 50.

        Lean las siguientes páginas que introducen el concepto de punto de inflexión, extraídas del libro Cálculo Aplicado de Hallett. Intenten resolver los ejemplos antes de leer cada solución.

Teoremas del valor medio

Observación 2.

A lo largo de esta materia hemos estado presentando los recursos elementales del Cálculo. Lo hicimos buscando un equilibrio entre la ejercitación práctica, la modelización matemática de situaciones concretas (geométricas, físicas, económicas, etc.) y –en menor medida porque no se trata de un curso dirigido a matemáticos– la fundamentación teórica de los resultados. Los llamados teoremas del valor medio son una serie de resultados en los que descansa buena parte de la fundamentación rigurosa del Análisis Matemático . Su estudio minucioso corresponde a un curso más avanzado o al apetito de los estudiantes que tienen la sana costumbre de preguntarse el por qué de todo, sin conformarse con aceptar gratuitamente nada que no esté debidamente justificado.

El tratamiento que les daremos aquí tendrá dos propósitos:

• Propósito informativo: que conozcan la existencia de estos teoremas, sus enunciados y sus significados.
• Propósito ilustrativo: que manejen una mínima variedad de ejemplos para mostrar a los teoremas en funcionamiento y así entender en algún contexto lo que cada uno de ellos significa.

Los problemas que van del 51 al 53 están relacionados con los teoremas que se presentan a partir de la sección 7. Se espera que lleguen a leer esa sección, después de haber pensado estos problemas.

Problema 51.

1. En un sistema de coordenadas cartesiano el eje de abscisas representa el tiempo, medido en horas y el eje de ordenadas representa la posición, medida en kilómetros. Intenten dibujar el gráfico de posición en función de tiempo de un móvil que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

1. En los instantes  y  está en la misma posición.
2. Su velocidad inicial es distinta de .
3. Nunca se detuvo.

2. Comparen sus dibujos con los de otros compañeros y discutan sobre la dificultad de la consigna. Luego escriban alguna conclusión.

Problema 52.

        Un monje asciende desde la base de un cerro por un sendero hasta un monasterio que hay en la cima. Sale a la mañana temprano y se toma buena parte del día en subir, parando para descansar y almorzar una vianda que carga en su mochila, llegando al monasterio a la puesta del sol. En el monasterio pasa la noche y por la mañana, a la misma hora que había partido el día anterior inicia el descenso por el mismo camino por el que había ascendido, llegando a la base del cerro al mediodía.

1. Escriban en una hoja de sus cuadernos/carpetas argumentos a favor de la siguiente afirmación: «El monje estuvo en sus caminos de ascenso y descenso en un mismo punto del camino los dos días a la misma hora».
2. Los argumentos construidos pueden basarse en un texto escrito, en un gráfico o en ecuaciones. Si argumentaron en alguno de esos formatos, traten de traducir la argumentación a alguno de los otros, o bien de buscar a un compañero que haya argumentado así y comparen los argumentos.

Nota:

Aunque no hay un acuerdo universal al respecto, existe una tendencia en ciertos foros a denominar Cálculo a los aspectos de esta rama de la matemática que tienen que ver con la modelización y la aplicación práctica de resultados (derivar e integrar, por ejemplo) y denominar más pomposamente Análisis Matemático a los aspectos más relacionados con la fundamentación técnica y rigurosa de la teoría.

Problema 53.

Un conductor fue detenido por la Policía, para un control, en la salida del Acceso Oeste, llegando a Luján. En su teléfono celular se podía observar la conversación que se reproduce acá abajo. Se sabe que en ese tramo de la autopista la velocidad máxima permitida es de . La Policía acusa al conductor de haber cometido un exceso de velocidad en algún momento de su recorrido. Propongan argumentos a favor del conductor y de la Policía. ¿Quién piensa que tiene razón? ¿Puede saberse?

Problema 54.

        En la siguiente sección se presentan de manera abstracta los teoremas que se ponen en juego en los últimos tres problemas (y también algunos teoremas más). Se propone un ejercicio de lectura de dicha sección, donde uno de los propósitos es identificar cuáles son los teoremas involucrados en estos problemas con los que trabajaron.

Enunciados de los teoremas

Los teoremas de valor medio o intermedio están listados aproximadamente en el orden histórico en que fueron apareciendo. El primero, de Fermat, si bien habla del concepto de derivada es previo a la formulación del cálculo infinitesimal por Isaac Newton [1643-1727, Inglés] y Gottfried Wilhelm Leibniz [1646-1716, Alemán]. Seguramente Fermat ya tenía una idea intuitiva de lo que terminarían precisando Newton y Leibniz unos años después. Este orden también va de enunciados más intuitivos en los que se juegan ideas físicas o geométricas a teoremas más abstractos como los de Bolzano y Weierstrass que sirven de base para los demás. Cronológicamente vienen después porque ése es el camino que ha recorrido históricamente el análisis matemático: de ideas más intuitivas y relacionadas con la física y la geometría a ideas más abstractas relacionadas con la topología. De hecho, algunos historiadores reconocen a Weierstrass como fundador del análisis moderno. La potencia de estos teoremas consiste en que permite conocer características de una función a partir del conocimiento de sus valores en los extremos de un intervalo en el que está definida. Son los primeros de una larga lista de resultados muy potentes que tienen muchas aplicaciones a la física y la electrónica.

Idea de las demostraciones

Pierre de Fermat [1601-1665, Francés]: 

Sea  una función derivable en el intervalo abierto , si  tiene un máximo o un mínimo en el punto . Entonces .

Demostración:

Supongamos que  sea el punto del máximo (la demostración es análoga mutatis mutandis para el caso del mínimo). Tomando un  suficientemente chico, en un intervalo , para todo  se cumple:  y que para todo .  Entonces los límites laterales son uno mayor o igual a cero y el otro menor o igual a cero. Pero como por derivabilidad deben ser iguales entonces la derivada de  tiene que ser a la vez mayor o igual y menor o igual que cero, con lo cual es cero.

Michel Rolle [1652-1719, Francés]: 

Sea  una función continua en el intervalo cerrado , derivable en el intervalo abierto  y .

Entonces:

• Existe al menos un punto  perteneciente al intervalo  tal que:

.

Demostración:

La diferencia principal con el teorema de Fermat es que en el de Rolle las hipótesis no explicitan la presencia de máximo o mínimo. Esta se deduce del resultado de Weierstrass formulado más de 100 años después cuando el caldo del rigor había fermentado lo suficiente para que existieran la necesidad y las herramientas para probar el resultado.

Joseph-Louis de Lagrange [1736-1813, Italiano]: 

Sea  continua en el intervalo cerrado  y derivable en el intervalo abierto .

Entonces:

• Existe al menos algún punto  en el intervalo  tal que la tangente a la curva en  es paralela a la recta secante que une los puntos  y .
• Es decir:

Demostración:

Antes de seguir leyendo piensen cómo puede construirse una función  tal que  a partir de la información de la  y los valores  y . De alguna forma tiene que tomar los valores de  y  que son distintos y buscar cómo compensar la  para que en el extremo final del intervalo dónde  valga lo mismo que en el extremo inicial dónde .

Primero se consideran dos puntos  y  pertenecientes al gráfico de la función. La ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es:

Se define una función auxiliar:

Como  es continua en el intervalo cerrado  y derivable en el intervalo abierto  lo mismo se puede decir de . Además  satisface las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo cerrado  ya que:  

y .

Entonces por el Teorema de Rolle, como  es derivable en  y  existe un  perteneciente a  tal que  y por tanto:  

por lo tanto .

Augustin Cauchy [1789-1857, Francés]: 

Sean  y  funciones continuas en el intervalo cerrado  y derivables en el intervalo abierto .

Entonces:

• Existe al menos un punto  tal que:

En el caso de que  y además , entonces podemos escribir:

.

Demostración:

Antes de seguir leyendo piensen cómo puede construirse una función  que cumpla las condiciones expresadas en la idea.

Se define una función auxiliar:

 como:

donde  y  son funciones continuas en el intervalo cerrado , derivables en el intervalo abierto .

Se puede observar por simple inspección que  y .

Por el Teorema de Rolle, existe un , perteneciente al intervalo abierto , tal que .

Así, derivando  se obtiene:

y sabiendo que  

de donde se deduce que .

Si  y  son distintos de , la expresión anterior puede ser escrita como:

El teorema de Cauchy puede retomarse cuando se trabaje con el tema series para la demostración de las fórmulas de MacLaurin y Taylor.

Cuando vean integración pueden volver a leer esta variante del teorema del valor medio. Teorema valor medio para el cálculo integral: Sea  en el intervalo cerrado , existe un valor  en dicho intervalo, tal que .

Para seguir estudiando en biblioteca

En esta sección recomendamos algunos libros e indicamos problemas que está bueno resolver para seguir practicando y aprendiendo. El libro [5] es una excelente fuente de problemas. Si bien es un libro orientado a economistas y administradores, tiene problemas de todo tipo que requieren hacer modelos matemáticos con funciones y sus derivadas, lo que, a nuestro juicio, pone a prueba la comprensión de estos temas. En algunos casos es posible que se necesite recurrir a funciones que no hemos repasado o cuya derivada no hemos aprendido a calcular, en ese caso pasen al problema siguiente. También van a encontrar problemas que usan tecnicismos económicos, como costo marginal, ingreso marginal, depreciación lineal, etc. Pasenlos de largo a menos que tengan muchas ganas de aprender economía. En ese caso pueden usar este mismo libro para aprender esos conceptos. La sección de problemas 11.3 de la página 504 y siguientes tiene muchos de estos problemas de modelización. En algunos el modelo viene dado; en otros deben armarlo a partir de lo que dice el enunciado. Lo mismo ocurre con la sección de problemas 13.6 de la página 607 y siguientes. El libro [2] tiene muy buenos problemas que figuran bajo el título de ACTIVIDADES. Hay un solo ejemplar en biblioteca. En las páginas 172 a 175 recomendamos hacer los problemas del 1 al 6, el 11, los problemas 20 al 22, 28, 30 al 32 y del 38 al 45. En las páginas 193 y 194 recomendamos hacer los problemas del 27 al 37. El libro [3] de nuestra vecina Universidad Nacional de General Sarmiento es una muy buena referencia para un curso introductorio de matemática. Hay varios ejemplares en la biblioteca. Recomendamos de este libro los problemas de extremos absolutos de las páginas 405 y 406.