Algebra y Geometría Analítica
Índice
Primer Cuatrimestre
Semana 1
Semana 2
Semana 3
Semana 4
- Introducción.
- Producto escalar (o producto punto o producto interno).
- Ángulo entre dos vectores.
- Vectores en el espacio.
- Autoevaluación y entrega.
Semana 5
- Ecuación explícita o cartesiana de la recta.
- Ecuación vectorial o paramétrica de la recta.
- Puntos que pertenecen ó que no pertenecen a una recta determinada.
- Intersección entre rectas de .
- Ecuación de la recta dados dos puntos.
- Rectas paralelismo y rectas perpendiculares.
- Actividades de práctica.
- Autoevaluación.
Semana 6
- Introducción.
- ¿Cómo expresamos una recta en el espacio?.
- Paralelismo, perpendicularidad y... ¿qué más?.
- Intersección de rectas en el espacio.
- Autoevaluación.
Semana 7
- Introducción.
- Ecuación vectorial o paramétrica del plano por el origen.
- Ecuación vectorial o paramétrica del plano por cualquier punto.
- Algunas visualizaciones para comprender.
- Intersecciones entre plano y recta.
- Autoevaluación.
Semana 8
- Introducción.
- Ecuación general del plano por el origen.
- Ecuación general del plano por un punto cualquiera.
- Tres puntos y los planos... y una operación "nueva" entre vectores de .
- Posición relativa entre planos, entre recta y plano e intersecciones.
- Práctica
- Autoevaluación
Semana 9
Semana 10
- Introducción
- ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
- ¿Cuál es el conjunto de solución de un sistema de ecuaciones lineales?
- ¿Cómo hallar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales?
- Texto teórico y guía de actividades.
- Autoevaluación.
Semana 11
- Introducción.
- Matrices especiales.
- Operaciones con matrices.
- Diferentes formas de representar un sistema de ecuaciones lineales.
- Propiedades de las operaciones con matrices.
- Guía de actividades y texto teórico.
Semana 12
Semana 13
- Introducción.
- Determinante de matrices de .
- Determinante de matrices de .
- Determinantes de matrices de nxn.
- Propiedades de los determinantes.
- Determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y matriz inversa.
- Ejercicios y problemas.
- Autoevaluación.
Segundo Cuatrimestre
Semana 1
- Introducción
- Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
- Algunas propiedades de las soluciones de un sistema homogéneo
- Combinación lineal de vectores y dependencia lineal
- Independencia lineal de vectores (otra forma de pensarlo)
- Autoevaluación
Semana 2
- Introducción
- Espacios Vectoriales (EV)
- Propiedades de un Espacio Vectorial
- Algunas actividades para afianzar ideas
- Espacio vectorial (definición formal)
- Base y dimensión de un espacio vectorial
- Espacios vectoriales, bases y soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo
- Autoevaluación
Semana 3
- ¿Cómo hallamos una preimagen?
- Resumen hasta aquí
- Algunas transformaciones especiales
- Ejercitación y autoevaluación
Semana 4
- Introducción
- Dos propiedades que definen a las transformaciones lineales
- Hallando imágenes a partir de las propiedades de una TL
- Hallando la matriz de una transformación lineal
- Algunas transformaciones geométricas que son TL
- Núcleo, Imagen y Teorema de la dimensión
- Núcleo de T
- Imagen de T
- Núcleo e Imagen de una TL son espacios vectoriales
- ¿Cómo queda determinada una TL?
- Teorema de la dimensión y caracterización de la solución de los sistemas homogéneos
Semana 5
- Introducción
- Definición de autovector y de autovalor
- Una primera propiedad de los autovectores
- ¿Cómo hallamos los autovalores y autovectores conocida la matriz de la transformación lineal?
- Diagonalización
- Propiedades de las matrices diagonalizables
- Ejercitación y Autoevaluación
Semana 6
- Introducción
- Forma binómica de un número complejo
- Representación gráfica. Argumento principal y módulo
- Forma trigonométrica
- Propiedad de la multiplicación de los números complejos
- Actividades y texto teórico
- Autoevaluación
Libro 1 - del 28/3 al 6/4
Cuadriláteros-Teorema de Pitágoras
Tabla de contenidos
1. Introducción
1. Introducción 1
Recuerden que pueden hacer clic en las frases resaltadas para acceder a materiales y recursos.
Durante esta semana trabajaremos con los siguientes temas:
- Cuadriláteros, y de éstos, en especial trabajaremos con paralelogramos.
- Triángulos rectángulos. En particular revisaremos el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas.
Para que puedan trabajar esta semana tendrán a su disposición textos, videos, ejercicios y problemas.
Los docentes los acompañamos a través de:
- La selección y/o confección del material.
- La respuesta a las dudas que realicen en el foro Consultas.
- Los espacios de acompañamiento presenciales.
Este libro tiene 5 apartados. Pueden acceder a cada uno de ellos haciendo clic en la tabla de contenidos. Búsquenla en alguna parte de la pantalla. Es posible que esté en el margen derecho y superior.
También pueden ir hacia adelante y hacia atrás haciendo clic en la flecha que apunta a la derecha o a la izquierda, respectivamente. Están ubicadas debajo y encima de este texto.
2. Paralelogramos
Les proponemos que trabajen con la primera parte (act 1 a 5) de la Actividades sobre paralelogramos, luego resuelvan el problema 1 de la página 8 de la Guía de problemas y finalmente con la segunda parte (act 6 y 7) de la Actividades sobre paralelogramos.
Pueden acceder al video Construcción de la figura 3 del trabajo sobre paralelogramos.
En este video, además de resolver una de las actividades de la práctica, les mostramos cómo acceder a GeoGebra y cómo usarlo.
El sábado 2/4 estará habilitada la Resolución de actividades sobre paralelogramo en el que mostramos una forma posible de responder a esos ejercicios. Les recomendamos que intenten responder ustedes primero y luego comparar.
Para revisar algunos conceptos les acercamos un Texto sobre cuadriláteros por Tapia.
Para finalizar, les proponemos que resuelvan el problema 5 de la Guía de problemas.
3. Teorema de Pitágoras
Este teorema es uno de los más famosos de la geometría, y en particular, sobre la relación que hay entre los lados de los triángulos rectángulos.
En el Video sobre teorema de Pitágoras pueden ver una explicación sobre la aplicación de este teorema.
Pueden realizar los problemas 8 y 9 de la página 10 y el ejercicio (2) de la página 17 de la Guía de problemas.
También les acercamos una página externa con Ejercicios interactivos sobre teorema de Pitágoras.
AL INICIO DE ESTA PÁGINA HAY UN GIF.¿QUÉ RELACIÓN TIENE CON EL TEOREMA DE PITÁGORAS?¿QUÉ SE MUESTRA?
4. Razones trigonométricas
Hasta ahora trabajamos con la relación entre los lados de los triángulos rectángulos. A continuación, vamos a analizar las relaciones que existen entre los lados y los ángulos de esos mismos triángulos. TENGAN EN CUENTA QUE ESTAMOS TRABAJANDO EXCLUSIVAMENTE CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
En primer lugar, les proponemos que piensen el problema 7 de la página 10 de la Guía de Problemas. Necesitarán usar un archivo de GeoGebra. Pueden elegir la opción Archivo triángulo elástico o Triángulo elástico en la nube. En la primera se descarga el archivo GGB para que lo usen con la aplicación de la computadora (y tal vez con la del celular), el segundo, es una opción online. Escriban en sus cuadernos o carpetas las conclusiones que puedan inferir a partir de la resolución problema 7.
Luego, salga o no salga el problema, les proponemos los siguientes videos sobre el tema:
- Video de semejanza a razones trigonométricas. (En este video se explican las razones trigonométricas a partir de semejanza de triángulos)
- Video con ejemplos de aplicación de razones trigonométricas.
- Video con ejemplos en el que se hallan los ángulos de un triángulo rectángulo, conociendo un ángulo y un lado.
Pueden realizar las actividades que se encuentran en la Práctica sobre trigonometría.
Pueden consultar una posible Resolución de un problema que involucra triángulos rectángulos. Les recomendamos que primero intenten resolverlo ustedes. Luego, en todo caso miren la resolución propuesta y comparen. No dejen de ver cómo escribimos y explicamos la resolución.
Presten atención a la redacción y a lo matemático. También les acercamos las Respuestas de la práctica sobre trigonometría. (En este archivo van a encontrar las respuestas únicamente, no los procedimientos).
Recuerden plantear sus dudas en el foro Consultas. No esperen a la clase presencial. El hábito de escribir la pregunta les va a permitir mejorar la escritura y el enfoque, y posiblemente logren empezar a tener una posible respuesta.
5. Autoevaluación 1
Como parte de la evaluación continua (ver las condiciones en Evaluación y acreditación) les proponemos la Autoevaluación sobre cuadriláteros y triángulos rectángulos.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Revisen cuáles son las fechas y horarios en los que estará habilitada ingresando a la Autoevaluación.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las Consultas, leído los textos y vistos los videos
Libro 2 - del 7/4 al 13/4
Trigonometría
Tabla de contenidos
1. Introducción
1. Introducción 2
Recuerden que pueden hacer clic en las frases resaltadas para acceder a materiales y recursos. La semana pasada comenzamos trabajando con cuadriláteros y en especial paralelogramos. Continuamos trabajando con triángulos rectángulos. Vimos el teorema de Pitágoras que relaciona los tres lados de cualquier triángulo rectángulo e introdujimos las razones trigonométricas entre los lados de los triángulos rectángulos asociado a alguno de sus ángulos agudos. En esta semana vamos a querer trabajar con un teorema que relaciona los tres lados y uno de los ángulos de cualquier triángulo. Este teorema es conocido como teorema del coseno. Como podrán imaginarse, este teorema, trabaja con el coseno de alguno de los ángulos del triángulo. Y como sabemos, la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos rectos, es decir, es igual a 180°. Eso significa, que existen triángulos que pueden tener ángulos mayores a 90°. ¿Y qué sería calcular el coseno de un ángulo de, por ejemplo, 150°?.
Antes de meternos con el teorema en cuestión, vamos a dar una nueva definición de las funciones trigonométricas. Esto va a conservar lo que ya teníamos (posibilidad de trabajar con el seno, coseno y tangente de ángulos agudos) y agregar la posibilidad de trabajar con otros ángulos.
Podríamos pensar el trabajo de esta semana en dos partes:
- Las definiciones de las funciones trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria,
- El teorema del coseno.
Este libro tiene 4 apartados. Pueden acceder a cada uno de ellos haciendo clic en la tabla de contenidos. Búsquenla en alguna parte de la pantalla.
También pueden ir hacia adelante y hacia atrás haciendo clic en la flecha que apunta a la derecha o a la izquierda, respectivamente. Están ubicadas debajo y encima de este texto.
2. Funciones trigonométricas
Como adelantamos en la introducción, vamos a trabajar con funciones trigonométricas. Esta nueva definición va a ser equivalente con las razones trigonométricas ya definidas la semana pasada para el caso de ángulos mayores que 0° y menores que 90° y ampliarán la posibilidad de trabajar con otras cantidades.
En primer lugar, antes de entrar a lo que mencionamos en el párrafo anterior les proponemos que miren los siguientes vídeos en el que explicamos algunas cuestiones sobre la medición de ángulos y sobre la posibilidad de pensar la orientación.
Ahora sí, les proponemos el siguiente video en el que definimos las funciones trigonométricas sobre la circunferencia unitaria.
Para afianzar algunas ideas, les proponemos que realicen las actividades 1 a 8 de la Práctica sobre trigonometría en la circunferencia y teorema del coseno.
Además, les facilitamos un Applet con la circunferencia trigonométrica. Con él pueden pensar las definiciones del seno y del coseno en la circunferencia unitaria. También pueden usarlo para hallar los valores de seno y coseno de distintos ángulos.
Recuerden que nos encuentren cuando realizan sus preguntas y plantean sus dudas en el foro Consultas y en los encuentros presenciales.
3. Teorema del coseno
Como mencionamos, este teorema relaciona los tres lados de un triángulo cualquiera con uno de sus ángulos. Si quieren conocer ya el enunciado del teorema, lo encuentran en el problema 10 de la página 11 de la Guía de Problemas.
En Matemática, como en otras áreas del conocimiento, la justificación de las afirmaciones cobra especial importancia. Partimos de algunas verdades que consideramos evidentes, o que nos resulta conveniente aceptar como verdaderas, y a partir de ellas justificamos las siguientes afirmaciones. Esperamos que a lo largo del curso ustedes puedan justificar sus razonamientos y resoluciones. En el siguiente video, verán el enunciado del teorema del coseno y una justificación.
Para poder practicar con este concepto, les recomendamos que realicen el problema 10 de la página 11 de la Guía de Problemas y las actividades 9 en adelante de la Práctica sobre trigonometría en la circunferencia y teorema del coseno.
A continuación, les acercamos unos ejemplos de resoluciones de algunos problemas. Les recomendamos que una vez comprendido el problema, paren el video e intenten resolverlo primero ustedes.
- Video con un ejemplo encontrar un ángulo de un triángulo.
- Video con un ejemplo para encontrar la longitud de un lado de un triángulo.
Los materiales que siguen se refieren al mismo problema. El primero, es un video que aborda una resolución gráfica geométrica y el segundo es un texto en el que se desarrolla una resolución algebraica.
- Video con un ejemplo dos lados y ángulo no comprendido en ggb.
- Texto con resolución de un ejemplo dados dos lados y ángulo no comprendido.
4. Autoevaluación 2
Como parte de la evaluación continua (ver las condiciones en Evaluación y acreditación) les proponemos la Autoevaluación sobre trigonometría en la circunferencia y teorema del coseno.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Revisen cuáles son las fechas y horarios en los que estará habilitada ingresando a la Autoevaluación.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las Consultas, leído los textos y vistos los videos
Libro 3 - del 14/4 al 20/4
Vector
Tabla de contenidos
2.1. Norma y ángulo.
3. Operaciones que involucran a vectores.
3.1. Suma de vectores.
3.2. Multiplicación por un escalar.
3.3. Para practicar estas operaciones.
4. Combinación lineal de vectores.
Para estudiar ciertos fenómenos, en muchos casos alcanza con definir variables que involucren únicamente números (y a lo sumo alguna unidad de medida) como, por ejemplo, situaciones en las que intervienen el tiempo, o la temperatura, o la masa de los objetos.
En cambio, existen otras situaciones en las que es necesario considerar otras características, como por ejemplo la dirección o el sentido en el que una cierta magnitud acciona. Entre estas variables tenemos las fuerzas, los desplazamientos, la posición, la velocidad, etc.
Durante esta semana nos introduciremos en los primeros pasos del tema vectores. Vamos a proponerles un texto, algunos videos y algunas actividades. Y al final de la semana la autoevaluación. Como siempre, tienen el foro Consultas y los encuentros presenciales para poder plantear sus dudas.
Recuerden que para navegar en este libro tienen la tabla de contenidos o las flechitas que están pegadas a este texto por encima y por debajo.
2.¿Qué es un vector?
Vamos a comenzar pensando en los vectores flecha. Para ello comenzaremos con la idea geométrica de vector con el siguiente video:
Es posible caracterizar♥ un vector a partir de lo que llamamos sus componentes.¿Qué son las componentes de un vector? Pueden verlo en el siguiente video:
♥ Caracterizar significa dar condiciones necesarias y suficientes (generalmente, las mínimas posibles) de los objetos matemáticos de modo que los objetos que cumplen las características son los mismos que los objetos definidos. Por ejemplo, definimos paralelogramo como cualquier cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. Una caracterización sería: cuadrilátero que tiene dos pares de ángulos opuestos congruentes.
Otra caracterización sería: cuadrilátero que tiene dos diagonales que se cortan por su respectivo punto medio. Las tres (la definición y las dos caracterizaciones) involucran propiedades de los objetos en cuestión que son equivalentes, es decir, definen al mismo objeto. O sea, únicamente los cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos también tienen los ángulos opuestos iguales y todos ellos lo cumplen. De igual modo sucede con el cruce de las diagonales por sus respectivos puntos medios.
2.1. Norma y ángulo
También es posible caracterizar a un vector a partir de dos valores: la norma (o magnitud, o longitud) y el ángulo (o dirección).
En esta sección les proponemos que realicen la siguiente actividad:
Accedan a las páginas 220 a 223 del texto Grossman y Flores (2012) Álgebra lineal. Cap. 3. Pág 220 a 230 para ver las explicaciones y definiciones por escrito. Tomen nota de las definiciones de norma y dirección de un vector que allí se establecen.
Resuelvan algunos de los ejercicios del 1 al 16 de la página 229 del libro de Grossman y Flores (2012) Álgebra lineal. Cap. 3. Pág 220 a 230 y el ejercicio 1 de la Práctica adicional sobre vectores - parte 1.
Además, tienen una Resolución del ejercicio (13) de la página 20 de la Guía de problemas que involucra la noción de paralelismo de vectores.
3. Operaciones que involucran a vectores
Todo muy lindo, pero… se pueden hacer cuentas con vectores. Es decir,¿qué sería tener dos vectores y sumarlos?¿Y restarlos? Es posible que, a partir de dos vectores, se obtenga el vector suma.
En las dos secciones siguientes veremos la suma y resta de vectores y la multiplicación por un escalar. En la última sección indicamos las actividades de práctica.
3.1. Suma de vectores
A continuación, presentamos el episodio II que intenta develar los misterios de la suma y la resta de vectores:
Además, pueden ver en el siguiente video cómo efectuar la suma a partir de las componentes.
EXTRA:
3.2. Multiplicación por un escalar
Las dos operaciones anteriores están definidas a partir de dos vectores y el resultado es un vector. Veamos el siguiente caso en el que tomamos un vector y un número real (un escalar) y al operar, asignamos al resultado un vector. En el primer video tendrán la idea gráfica y en el segundo, cómo proceder a partir de las componentes del vector. Además, en uno de ellos encontrarán cómo hacer para encontrar el punto medio de dos puntos.
- Episodio III: Multiplicación por un escalar.
- Video sobre la multiplicación por un escalar a partir de las componentes del vector.
3.3. Para practicar estas operaciones
Para practicar sobre estos temas pueden realizar los ejercicios 17 a 19 de la página 229 del libro de Grossman y Flores (2012) Álgebra lineal. Cap. 3. Pág 220 a 230 y los ejercicios 2, 3 y 4 de la Práctica adicional sobre vectores - parte 1.
4. Combinación lineal de vectores
Para entrar en este tema, les pedimos primero que trabajen con los problemas 16 y 17 de la página 12 de la Guía de problemas. Para trabajar con ese problema necesitarán el siguiente Archivo GGB tiro al blanco.
Una vez que intentaron pensar esos problemas, les pedimos que vean el siguiente video:
En la página 226 del libro de Grossman y Flores (2012) Álgebra lineal. Cap. 3. Pág 220 a 230 explican cómo expresar a cualquier vector de como combinación lineal de los vectores unitarios y . ¿Quiénes son estos vectores? Les recomendamos que lean las explicaciones hasta la página 227.
Pueden realizar el resto de los problemas de Grossman y Flores (2012) Álgebra lineal. Cap. 3. Pág 220 a 230 y de la Práctica adicional sobre vectores - parte 1.
Les acercamos una Resolución del problema 39 de la página 229 del libro de Grossman y Flores en el que se buscan vectores unitarios con la misma dirección de otros vectores dados.
Finalmente, les facilitamos una Resolución del ejercicio (19) de la página 20 de la Guía de problemas. En ella verán una forma de saber si un vector es o no combinación lineal de otros dos.
5. Autoevaluación 3
Como parte de la evaluación continua (ver las condiciones en Evaluación y acreditación) les proponemos la Autoevaluación sobre vectores 1. Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las Consultas, leído los textos y vistos los videos.
Libro 4 - del 21/4 al 27/4
Vectores
Tabla de contenidos
2. Producto escalar (o producto punto o producto interno).
Durante esta semana trabajaremos con una operación entre vectores llamada producto interno (conocida también como producto punto o producto escalar). Además, construiremos una definición para ángulo entre dos vectores. Y finalmente, retomaremos lo realizado con vectores de para trabajar con vectores de .
Los recursos y las actividades que pueden realizar están a lo largo de este libro y pueden acceder a ellos haciendo clic en las frases resaltadas. Al final, en el último apartado, tendrán dos instancias para entregar en el marco de la Evaluación y acreditación.
Este libro tiene cuatro apartados que pueden recorrer haciendo clic en las flechitas que aparecen justo arriba y debajo de este texto y,también, haciendo clic en las secciones.
Recuerden realizar sus consultas en el foro.
2. Producto escalar (o producto punto o producto interno)
En primer lugar, para que puedan comenzar a ponerse en contacto con la noción de producto escalar les pedimos lo siguiente:
Intenten resolver el problema 20 de la página 14 de la Guía de problemas. Es bueno que intenten resolverlo con lo que puedan. Si surge alguna duda, plantea su duda en el foro Consultas.
Una vez que ocuparon algún tiempo en pensar lo anterior, les mostramos una posible Resolución del problema 20 de la pág 14 de la Guía de problemas. El objetivo que perseguimos con este problema es que podamos comenzar a entender qué sentido tiene lo que llamaremos producto escalar.
Noten que al final de la resolución presentamos una propiedad importante relacionada con los vectores ortogonales (perpendiculares). Esa propiedad, involucra a las componentes de los dos vectores en cuestión. En el siguiente video, se muestra cómo calcular el producto interno entre dos vectores de y de .
El producto escalar es una operación entre vectores que toma dos vectores y le asigna un número real (escalar) que resulta de sumar la multiplicación componente a componente.¿Para qué sirve?¿Dice algo de los vectores? En el siguiente apartado podemos encontrar alguna respuesta a estas preguntas.
3. Ángulo entre dos vectores
Les pedimos que lean el complemento teórico que comienza en la página 29 de la Guía de problemas y se llama Ángulo entre vectores a partir del teorema del coseno y termina en la página 30.
¿Cuál es la definición de ángulo entre vectores que se da?¿Cómo se muestra que tiene sentido?¿Qué otras definiciones se retoman?¿Qué propiedades aparecen?.
Para consolidar estas nociones practiquen con los siguientes problemas y ejercicio:
- De la Guía de problemas:
- Los problemas 26, 27, 28, 31, 33, 34, 36, 38 y 39. Comienzan en la página 15.
- Los ejercicios para practicar más (4), (5), (7), (8), (16). Comienzan en la página 18.
Además, les acercamos el siguiente Video con una resolución del problema 33 de la Guía de problemas.
Finalmente, a partir de la definición de ángulo entre vectores, es posible obtener el producto escalar de dos vectores de otra forma. Para enterarse, pueden ver el siguiente Video sobre otra forma de obtener el producto escalar de dos vectores.
4. Vectores en el espacio
Mucho de lo trabajado con los vectores de es extrapolable a los vectores de . Te proponemos el texto de Grossman y Flores (2012) Álgebra lineal. Cap. 3. Pág 244 a 253 para revisar estos conceptos.
¿Qué conceptos importantes se introducen en el texto?¿Pueden hacerse un resumen? Presten atención a las formas en que el texto resalta las definiciones, los teoremas, las observaciones, las fórmulas, etc. Leer un texto de Matemática es todo un trabajo. Entre otras cosas, leer un texto de Matemática requiere paciencia, papel y lápiz, revisar, retroceder, releer, reconocer la notación, consultar con otras fuentes, etc.
Para práctica tienen los ejercicios de las páginas 252 y 253 del libro de Grossman y Flores (2012) Álgebra lineal. Cap. 3. Pág 244 a 253.
Además, ponemos a disposición dos textos con la resolución de dos problemas que involucran la noción de combinación lineal de :
- Texto 1 con la resolución de un problema sobre combinación lineal de vectores en el espacio.
- Texto 2 con la resolución de un problema sobre combinación lineal de vectores en el espacio.
5. Autoevaluación y entrega 4
Como parte de la evaluación continua (ver las condiciones en Evaluación y acreditación) les proponemos la Autoevaluación sobre vectores 2. Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre. El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Y además, les proponemos que realicen la resolución de este Problema para entregar - U1. Para la fecha y modalidad de entrega sigan las indicaciones de sus profesores que serán dadas en los encuentros presenciales y en el foro Novedades.
En el siguiente enlace van a encontrar la Resolución Entrega U1
Libro 5 - del 28/4 al 4/5
Ecuaciones
Tabla de contenidos
1. Introducción
2.1. Ecuación explícita o cartesiana de la recta.
2.2. Ecuación vectorial o paramétrica de la recta.
2.3. Puntos que pertenecen ó que no pertenecen a una recta determinada.
3. Intersección entre rectas de .
4. Ecuación de la recta dados dos puntos.
5. Rectas paralelismo y rectas perpendiculares.
1. Introducción 5
Comenzamos a explorar la unidad 3. En la unidad anterior trabajamos con vectores flecha. En esta unidad veremos cómo los vectores nos sirven para pensar desde el Álgebra las rectas, los planos y a resolver algunas situaciones que pueden involucrarlos.
Podemos pensar las rectas tanto en el plano como en el espacio y los planos en el espacio . También es posible pensar cómo serían estos objetos en espacios como , o cualquier siendo cualquier número natural. En esta unidad nos concentramos en y , y en esta semana, trabajaremos exclusivamente rectas en .
Buena suerte... y como ya saben, pueden realizar sus preguntas y plantear sus dudas en el foro Consultas.
2. Primer acercamiento
Para comenzar, les proponemos que se animen a jugar con GeoGebra. Para eso, les pedimos que realicen el problema 1 de la unidad 2 que comienza en la página 32 de la Guía de problemas.
Piénsenlo, equivóquese, metan mano y si algo no sale, o si no se entiende lo que se pregunta, plantea su duda en el foro Consultas. Tal vez, alguien ya hizo allí la pregunta por ustedes... y si no, pueden animarse a ser la primera persona.
2.1. Ecuación explícita o cartesiana de la recta
En el siguiente video, el prof. Martín T. nos recuerda la forma de expresar a las rectas como las ven en Análisis Matemático 1, que también, quizás hayan trabajado en el Taller de Resolución de Problemas del COPRUN y que, además, posiblemente hayan visto en la escuela secundaria. Les proponemos que lo vean:
2.2. Ecuación vectorial o paramétrica de la recta
¿Encuentran alguna relación entre lo que hicieron al resolver el problema 1 de la unidad 3 con lo visto en el video del apartado anterior?.
Miren el siguiente video sobre otra forma de representar a las rectas y no olviden tener a mano lo trabajado anteriormente. Esta forma podrá ser útil sobre todo para escribir las ecuaciones de las rectas en y en .
2.3. Puntos que pertenecen ó que no pertenecen a una recta determinada
¿Cómo sabemos si un punto pertenece o no a una cierta recta?¿Cómo podemos usar "una" ecuación de una recta para saber si un punto P pertenece o no a su gráfica?¿Qué diferencia hay si la ecuación de la recta está escrita en forma vectorial o en forma explícita?
En el siguiente video te respondemos estas preguntas para el caso en que la recta está dada a partir de una ecuación vectorial.
¿Cómo responden estas preguntas en el caso de que la ecuación de la recta esté escrita en forma cartesiana o explícita? Piensen en esto y si no sale, ya saben dónde hacer sus Consultas
3. Intersección entre rectas de
¿Cómo encontramos los puntos que tienen en común dos o más rectas?¿De qué depende la estrategia?
Les proponemos que piensen cómo hallar los puntos de intersección (puntos en común) de las rectas del problema 8a de la unidad 2 en la página 35 de la Guía de problemas.
En el siguiente video mostramos una posible resolución, piensen una forma de encontrar la intersección entre rectas antes de verlo.
¿Cómo podríamos encontrar la intersección si las ecuaciones de las rectas están escritas en forma explícita?.
4. Ecuación de la recta dados dos puntos
¿Cómo encontramos una ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados y ?¿Qué estrategias podemos utilizar?
Para contestar nos podemos hacer algunas preguntas, por ejemplo: ¿qué necesitamos encontrar? ¿Qué información tenemos? ¿Cómo conseguimos lo que necesitamos a partir de lo que tenemos?
Teniendo en cuenta las preguntas que nos hicimos, encuentren una ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos y . Luego, miren la resolución que se presenta en el ejemplo 8 de la página 6 del Apunte sobre rectas de y compárala con lo que hicieron. ¿Llegaron a la misma ecuación? ¿Usaron la misma estrategia?.
Lean el Apunte sobre rectas de para reforzar algunas de las cuestiones que estuvimos trabajando, en él van a encontrar definiciones, propiedades, ejemplos resueltos, etc.
5. Rectas paralelismo y rectas perpendiculares
Lean sobre paralelismo y perpendicularidad de rectas en la página 7 del Apunte sobre rectas de . Habrán notado que analizar si dos rectas son paralelas o son perpendiculares se reduce a mirar sus vectores directores. Estos temas (vectores perpendiculares y vectores paralelos) fueron trabajados en el libro de la Semana 4 - del 19/4 al 28/4.
Según la definición de rectas paralelas dada en el apunte, ¿Una recta, es paralela a sí misma? ¿Por qué?.
6. Actividades de práctica
Les dejamos las siguientes Actividades de práctica sobre rectas en . Recuerden plantear sus dudas en el foro Consultas.
7. Autoevaluación 5
Como parte de la evaluación continua (ver las condiciones en Evaluación y acreditación) les proponemos la Autoevaluación sobre rectas en . Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las Consultas, leído los textos y vistos los videos.
Libro 6 - del 5/5 al 11/5
Rectas
Tabla de contenidos
2. ¿Cómo expresamos una recta en el espacio?.
3. Paralelismo, perpendicularidad y... ¿qué más?.
4. Intersección de rectas en el espacio.
- Introducción 6
Durante la semana pasada estuvimos trabajando con rectas en . Vimos distintas formas de representar una recta en forma algebraica: ecuación vectorial (o paramétrica) y ecuación cartesiana (o explícita o general). Es importante que distingamos qué rol cumple cada parámetro de la ecuación, cómo se relaciona con la recta. También es importante que sepamos cómo usar cada expresión para dar un punto de la recta, para saber si un punto pertenece o no a una recta. También surgieron nociones como rectas perpendiculares y paralelas. Estas nociones se centran en la dirección de las rectas. Resolvimos algunos problemas que implican hallar la intersección entre dos rectas.
Durante esta semana trabajaremos con ideas análogas a las que mencionamos en el párrafo anterior, pero para rectas en . Es una buena oportunidad para reforzar las ideas trabajadas. Así que les recomendamos que comparen con lo realizado.
2.¿Cómo expresamos una recta en el espacio?
Vamos a pensar cómo definir rectas en .
.
Primero, les proponemos que piensen ustedes el problema 4 de la unidad 2 de la Guía de problemas que está en las páginas 33 y 34.
En el siguiente video del profesor Daniel, les compartimos una posible solución a ese problema. También definimos una forma algebraica de representar rectas en .
¿Cómo hallar la ecuación vectorial de una recta conocidos dos puntos por el que pasa?
Para practicar sobre esto tienen el ejercicio 1 de la Guía de ejercicios sobre rectas en el espacio. También pueden leer y hacer el problema 5 de la página 34 de la Guía de problemas.
3. Paralelismo, perpendicularidad y... ¿qué más?
Cuando trabajamos en el plano vimos que dos rectas distintas son paralelas si tienen la misma dirección, es decir, si sus vectores directores son paralelos. O sea, si sus vectores directores son múltiplos uno del otro.
En el plano, dos rectas distintas que son paralelas, no tienen ningún punto en común. Por definición, toda recta es paralela a sí misma.
Además, vimos también la noción de perpendicularidad. En el plano, dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares, es decir, si el producto escalar entre los vectores directores es .
En el espacio, ¿pasa lo mismo? ¿Existen otras posiciones relativas entre dos rectas?.
En el Apunte sobre rectas en el espacio podrán leer sobre esta cuestión.
¿Cuán similares y cuán diferentes son las nociones de paralelismo y perpendicularidad en el plano y en el espacio?.
En el plano (euclídeo), dada una recta y un punto, existe una única recta paralela a la dada que pasa por el punto. En el espacio, ¿sucede lo mismo?
En el plano (euclídeo), dada una recta y un punto, existe una única recta perpendicular a la dada y que pasa por ese punto. En el espacio, ¿sucede lo mismo?.
En el plano, las rectas perpendiculares siempre se cortan. ¿Qué sucede en el espacio?.
Sobre intersección de rectas hablaremos en el siguiente apartado. Mientras tanto, los ejercicios 2, 3 y 4 de la Guía de ejercicios sobre rectas en el espacio tratan sobre los temas de este apartado.
Ah... casi nos olvidamos de pasarles este Video con la resolución de un problema en el que hay que hallar la ecuación de una recta paralela a otra que pasa por un punto dado por el profesor Marcelo.
4. Intersección de rectas en el espacio
¿Cómo sabemos algebraicamente si dos rectas del espacio se cortan?
Intenten pensarlo ustedes resolviendo el problema 8b de la página 35 de la Guía de problemas.
A continuación les presentamos un texto y un video en el que se busca la intersección de dos rectas de . Es el mismo ejemplo en ambos casos, así que ustedes eligen si leen el texto, si miran el video de la profesora Perla... o si eligen ambos:
- Texto con la resolución de un problema de intersección de rectas en el espacio.
- Video con la resolución de un problema de intersección de rectas en el espacio.
Para practicar con ejercicios que integran los contenidos de esta semana y la semana pasada tienen el resto de los ejercicios de la Guía de ejercicios sobre rectas en el espacio y los ejercicios (1), (2), (3), (4), (5) y (12) de las páginas 44, 45 y 46 de la Guía de problemas.
No se olviden de plantear sus preguntas en el foro de Consultas.Muchos compañeros lo están aprovechando con las preguntas, y también hay muy buenos aportes. No dejen de pasar por allí.
5. Autoevaluación 6
A esta altura ya saben las condiciones de Evaluación y acreditación, ¿no?.
Como parte de la evaluación continua les proponemos la Autoevaluación sobre rectas en . Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las Consultas, leído los textos y vistos los videos.
Libro 7 - del 12/5 al 18/5
Ecuación Vectorial
Tabla de contenidos
2. Ecuación vectorial o paramétrica del plano por el origen.
3. Ecuación vectorial o paramétrica del plano por cualquier punto.
4. Algunas visualizaciones para comprender.
5. Intersecciones entre plano y recta.
1. Introducción 7
Venimos trabajando con rectas en el plano y en el espacio . En esta semana le toca el turno a los planos en .
Para comenzar a movilizar los conocimientos anteriores que nos ayudarán a tener mayor comprensión sobre el tema que nos toca, les pedimos que piensen (y escriban en sus carpetas, y resuelvan, y jueguen con GeoGebra, y consulten entre ustedes, y consulten en el foro Consultas...) los problemas 11 y 12 de la página 36 de la Guía de problemas.
Luego, si sale o no, avancen al siguiente apartado…
2. Ecuación vectorial o paramétrica del plano por el origen
Retomamos las ideas que aparecieron al trabajar con los dos problemas que les indicamos en la introducción. Esos problemas traen la noción de combinación lineal de vectores.
A partir de esta idea pensamos en lo que llamaremos la ecuación vectorial del plano (a veces, también llamada ecuación paramétrica).
Primero comenzamos pensando en los planos que contienen el origen de coordenadas. En el siguiente video del Profesor Martín C. desarrollamos esta idea:
En el siguiente apartado veremos la ecuación vectorial del plano que pasa por cualquier punto…
3. Ecuación vectorial o paramétrica del plano por cualquier punto
¿Cómo sería la ecuación vectorial de un plano que no pasa por el origen? ¿Se animan a pensarlo a partir de lo que vimos en el apartado anterior?
En el siguiente video del Profesor Martín C. vemos cómo:
Como resumen de las ideas de este apartado y el anterior les dejamos a disposición el siguiente recorte del texto Maestripieri, Pavón y Resmesar (2017) Notas de Álgebra Lineal. Cap. 1. Pág 32 a 34.
Pueden ir trabajando con los ejercicios y problemas que les indicamos en la Guía de ejercitación sobre planos 1.
4. Algunas visualizaciones para comprender
Promovemos fuertemente que utilicen algún software, como por ejemplo GeoGebra, para poder visualizar y aportar a la imagen conceptual de los temas que estamos tratando.
En esta ocasión, queremos ver qué sucede con los vectores directores de un plano en relación con este plano. ¿Forman parte de él o no? En el siguiente video el Profesor Gastón nos muestra algunas ideas sobre esto.
También les acercamos el siguiente video en el que el profesor nos muestra una visualización de cómo los vectores directores generan un plano.
5. Intersecciones entre plano y recta
Pensemos en una recta y un plano en el espacio. ¿Cuántas posibilidades hay si pensamos en los puntos en común entre ellos? ¿Qué ejemplos se les ocurren? ¿Cómo puede hallarse esa intersección a partir de sus ecuaciones vectoriales?.
En el siguiente video la Profesora Perla nos muestra algunos ejemplos que pueden ayudarnos con las preguntas anteriores.
Recuerden que tienen para practicar los ejercicios y problemas indicados en la Guía de ejercitación sobre planos 1 y que pueden plantear sus Consultas en el foro además de participar de cualquiera de los encuentros presenciales.
6. Autoevaluación 7
Como parte de la evaluación continua les proponemos la Autoevaluación sobre ecuación vectorial del plano e intersección recta plano. Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las Consultas, leído los textos y vistos los videos.
Libro 8 - del 19/5 al 25/5
Ecuación general del plano
Tabla de contenidos
2. Ecuación general del plano por el origen.
3. Ecuación general del plano por un punto cualquiera.
4. Tres puntos y los planos... y una operación "nueva" entre vectores de .
5. Posición relativa entre planos, entre recta y plano e intersecciones.
6. Práctica
1. Introducción 8
Durante esta semana continuaremos trabajando con planos y rectas en el espacio .
.
La semana anterior presentamos la ecuación vectorial o paramétrica del plano, vimos cómo usarla para indicar puntos del plano y puntos que no pertenecen a él. Vimos cómo encontrar la intersección entre un plano y una recta a partir de la ecuación vectorial de ambos, entre otras cosas.
Esta semana veremos otra forma algebraica de representar a los planos en . También veremos qué posiciones relativas pueden tomar una recta y un plano y entre planos, particularmente pensaremos en el paralelismo y la perpendicularidad. Y también, abordaremos la intersección entre una recta y un plano a partir de la ecuación del plano que estaremos trabajando.
2. Ecuación general del plano por el origen
Antes de meternos con la definición, es importante que primero ustedes piensen un poco sobre lo que queremos trabajar. Por eso, les pedimos que realicen el problema 15 de la página 37 de la Guía de problemas. Intenten pensarlo y si tienen algún bloqueo, por favor, indíquelo en el foro Consultas. Lo ideal sería que cuenten alguna idea que están teniendo y dónde se estancan. Esperamos que primero compañeros y compañeras respondan las preguntas que surjan.
Pueden ver una resolución de este problema por el profesor Marcelo en el Video con una resolución del problema 15 de la página 37 de la Guía.
En la resolución anterior terminamos escribiendo en forma genérica a la ecuación normal del plano. Esta ecuación es también llamada ecuación implícita del plano o ecuación general del plano. Volvamos a pensar en este tipo de ecuación en el siguiente video del profesor Martín C.. Encontrarán una visualización de la idea en GeoGebra y la definición:
En el siguiente video el profesor Marcelo muestra cómo encuentra la ecuación implícita del plano que pasa por el origen de coordenadas conocido un vector normal. Aprovechen, y ni bien se digan los datos del problema, pongan el video en pausa e intenten resolverlo ustedes. Luego, pueden seguir con el video para comparar.
- Video en el que hallamos una ecuación implícita de un plano por el origen conocido un vector normal.
Les dejamos unas preguntas: Dado un plano por el origen, ¿existe una única ecuación implícita que lo representa? ¿Cuántas hay? ¿Cómo pueden justificarlo? Si les parece, pueden abrir un hilo en el foro Consultas y debatirlo.
3. Ecuación general del plano por un punto cualquiera
En el apartado anterior vimos cómo expresar la ecuación general de cualquier plano por el origen de coordenadas. Solo necesitamos un vector normal a él y listo. La ecuación general nos muestra una relación entre las tres coordenadas de cada punto del espacio que forman parte del plano en cuestión. Más allá de lo mecánico, nos interesa que comprendan por qué la cosa funciona. Es importante para esto comprender qué sucede con el producto escalar del vector normal y cada vector que termina en el plano y tiene origen en el origen de coordenadas.
Veamos ahora cómo podemos pensar la ecuación general de cualquier plano que pasa por cualquier punto (no solo por el origen). En el siguiente video, el profesor Martín C. nos lo cuenta.
En el siguiente video, el profesor Marcelo, nos cuenta una resolución posible para dar la ecuación general de un plano dado su vector normal y un punto por el que pasa.
¿Hay alguna particularidad entre las ecuaciones de los planos que pasan por el origen de coordenadas? ¿cuál? ¿cómo lo pueden justificar? Si les parece, debatan sobre esto en el foro Consultas.
4. Tres puntos y los planos... y una operación "nueva" entre vectores de
Si tenemos tres puntos en el espacio , ¿Hay un plano que los contenga? ¿Cuántos hay? ¿Depende de algo? ¿Bajo qué condiciones ocurre? ¿Cómo lo explican? ¿Qué sucede en el caso de que fueran cuatro puntos? ¿Y si fueran dos? ¿Y si fuera uno solo?
En el Video sobre la ecuación general de un plano por tres puntos el profesor Martín C. nos cuenta un camino para encontrar, justamente, una ecuación implícita de un plano que pasa por tres puntos.
En el video, se planteó hallar un vector normal (perpendicular) a otros dos. ¿Cómo se hizo? Revisen el video y adviertan que se hallaron infinitos vectores perpendiculares, todos ellos de igual dirección, es decir, paralelos, es decir, múltiplos escalar entre sí. ¿Cómo tienen que ser dos vectores y para poder hallar infinitos vectores perpendiculares a ellos todos de igual dirección? ¿Es posible que dados dos vectores y existan infinitos vectores perpendiculares a ambos y que no todos tengan igual dirección? ¿Cómo explican la respuesta?.
Hablando de vectores perpendiculares a dos vectores dados, en el siguiente video, el profesor Martín T. nos cuenta por qué no le gusta tanto el producto vectorial para hallar un vector perpendicular a otros dos. No le gusta, pero igual nos cuenta en qué consiste el producto vectorial de dos vectores de . Las físicas e ingenieras le encuentran mucha utilidad, dicen que los físicos e ingenieros también... justo por la propiedad de las normas que cuenta también el profesor:
Y... ¿por qué no les gusta a algunos? y ¿por qué sí gusta a otros? No estaría de más opinar sobre esto en un hilo del foro Consultas.
5. Posición relativa entre planos, entre recta y plano e intersecciones
Dados dos planos en el espacio , ¿Cómo pueden estar posicionados uno en relación con el otro? ¿Cuáles son las diferentes opciones? Y si tenemos una recta y un plano, ¿Qué sucede?
Dos de las posibilidades, entre otras, son que haya paralelismo o que haya perpendicularidad. Sobre esto trata el Video sobre paralelismo y perpendicularidad entre planos y entre rectas y planos de la profesora Perla.
¿Es posible proponer una recta y un plano que no tengan puntos en común? ¿y uno solo? ¿y dos? ¿y más? ¿infinitos? En el siguiente video, el profesor Martín C. nos muestra algunos ejemplos de intersección entre una recta y un plano, dada una ecuación vectorial de la recta y una ecuación implícita del plano:
¿Y qué sucede con la intersección de dos o más planos dadas sus ecuaciones implícitas? Ahondaremos sobre esta cuestión durante la próxima semana de trabajo.
6. Práctica
En el siguiente archivo, les proponemos algunos ejercicios y les indicamos qué problemas de la Guía de problemas hacer.
También les acercamos los siguientes videos de Perla y de Marcelo con problemas resueltos. Aprovechen, y piénsenlo primero ustedes.
7. Autoevaluación 8
Como parte de la evaluación continua les proponemos la Autoevaluación sobre ecuación implícita del plano y algo más. Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las Consultas, leído los textos y vistos los videos.
Libro 9 - del 26/5 al 1/6
Intersecciones y Distancia
Tabla de contenidos
1. Introducción
3. Distancias
1. Introducción 9
Ya vamos llegando al final de esta unidad. Es un buen momento para retomar todo lo que estuvimos trabajando a lo largo de esta unidad y que encuentran en los Libro 5, Libro 6, Libro 7, y Libro 8. Dense una vuelta por allí, revisen resoluciones, autoevaluaciones, y consulten.
Además, en este libro, retomaremos algunas cuestiones sobre intersecciones entre planos. También, estaremos pensando en distancias entre puntos y rectas, entre puntos y planos, entre rectas y entre planos.
Finalmente, durante esta semana tocará realizar la entrega que verán en la sección Autoevaluación y entrega.
2. Intersecciones entre…
Traten de pensar (y resolver) el problema 31 de la página 40 de la Guía de problemas.
Si no sale, pueden plantear sus preguntas en el foro Consultas. Intenten ajustar la pregunta lo más que puedan. Intenten que la pregunta no sea cómo empiezo. Traten de ver si están entendiendo el enunciado. Si hay algo del enunciado que no se entiende, pregunten sobre eso, copiando la parte que no se entiende.
Una vez que consideran que ya trabajaron un buen tiempo con el problema, miren una posible resolución que la profesora Perla nos muestra en el siguiente Video con una resolución del problema 31 de la página 40 de la Guía. En el video hay un error en el minuto al escribir la ecuación implícita del plano , se debió haber escrito . De todas maneras, les pasamos una Resolución escrita del problema 31 de la página 40.
Luego, vean el Video sobre intersección entre planos, aquí el profesor Martín T. nos presenta un ejemplo de intersección entre una recta (escrita en forma vectorial) y un plano (en forma implícita)
Finalmente, en el Video sobre intersección entre tres planos el profesor Claudio nos presenta una visualización de la posición relativa entre tres planos y busca analíticamente la intersección entre tres planos en dos ejemplos.
Para practicar sobre estos temas, pueden resolver los ejercicios 1 y 2 de la Guía de ejercitación sobre intersecciones y distancias.
3. Distancias
Podemos definir la distancia entre dos puntos y como la norma del vector
¿Cómo podemos pensar la distancia entre un punto y una recta? y ¿entre un punto y un plano? y ¿entre rectas? y ¿entre planos?.
En los siguientes videos el profesor Martín T. nos cuenta alguna respuesta a alguna de estas preguntas:
¿Cómo definiríamos la distancia de dos objetos que se cortan, es decir, que tienen al menos un punto en común?
Para practicar sobre distancias pueden realizar el resto de la ejercitación de la Guía de ejercitación sobre intersecciones y distancias.
4. Autoevaluación y entrega 9
Como parte de la evaluación continua (ver las condiciones en Evaluación y acreditación) les proponemos la Autoevaluación sobre distancia e intersección. Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre. El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Y además, en cada comisión les vamos a proponer realizar una entrega por escrito en forma presencial en la que desarrollan la resolución con sus explicaciones, justificaciones y procedimientos.
Tendrán acceso a las consignas en la clase presencial, o bien en el foro Novedades. También indicaremos por el foro cuál será la fecha de entrega.
Libro 10 - del 2/6 al 8/6
Sistema de ecuaciones
Tabla de contenidos
1. Introducción
2. ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
3. ¿Cuál es el conjunto de solución de un sistema de ecuaciones lineales?
4. ¿Cómo hallar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales?
5. Texto teórico y guía de actividades.
1. Introducción 10
Durante la unidad anterior hemos trabajado con intersecciones entre distintos objetos. Por ejemplo, entre rectas de , entre rectas de , entre planos en .
Vimos que hallar los puntos que tienen en común estos objetos implica plantear una o varias ecuaciones, y hallar todos los valores de las incógnitas o variables que satisfacen las igualdades.
En esta semana, comenzamos a trabajar con la unidad 3. Uno de los objetos centrales de estudio de esta unidad es el que llamaremos sistema de ecuaciones lineales.
Intentaremos saber qué es un sistema de ecuaciones lineales, qué es una solución del sistema, qué es el conjunto solución del sistema, conocer algunas técnicas para hallar el conjunto solución, entre otros asuntos que trabajaremos las próximas semanas.
2. ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
Las siguientes son ecuaciones lineales:
Cuando en todas las ecuaciones que tenemos las variables intervinientes son las mismas, tenemos un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, el siguiente es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas o variables, es decir, un sistema de .
3. ¿Cuál es el conjunto de solución de un sistema de ecuaciones lineales?
Dado un sistema de , es decir de ecuaciones con incógnitas o variables, diremos que:
Una solución del sistema es un vector de componentes tal que cada una de sus componentes reemplazadas en las variables (en orden) satisfacen todas las igualdades del sistema.
Por ejemplo, el vector es una solución del sistema pues al reemplazar por , por , y por se verifican las tres igualdades. Por favor, verifiquen ustedes.
Les proponemos que miren el siguiente video en el que se explica cuál es la interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones de y cómo se clasifica según la cantidad de soluciones que tenga el sistema. (Los siguientes dos links corresponden al mismo video en dos plataformas diferentes)
Llamaremos conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales al conjunto de todos los vectores que son solución.
¿Cuál es el conjunto solución del siguiente sistema?
4. ¿Cómo hallar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales?
El sistema del final del apartado anterior es muy particular, porque está triangulado.
Puede verse a partir de la tercera ecuación que la única posibilidad para es que valga para que se verifique la tercera igualdad.Con este valor de , podemos ver en la segunda ecuación que la única posibilidad para es . Se observa despejando en esa ecuación y reemplazando el valor de por . Con estos valores, y , reemplazándolos en la primera ecuación, podemos hallar que debe sí o sí ser . De esta manera, el conjunto solución del sistema está formado por un único vector que podemos responder así: .
Lo que tuvo de bueno este sistema para que sea más o menos fácilmente resoluble es que en una de las ecuaciones solo aparece una de las variables, en la otra, solo dos, y en la primera las tres variables.
Un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales consiste en transformarlo en otro que tenga la misma solución pero que esté triangulado.
Diremos que dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen el mismo conjunto solución son sistemas equivalentes.
En el siguiente video, el profesor Daniel nos cuenta qué operaciones pueden hacerse para transformar un sistema en otro equivalente y nos presenta alguna justificación. (Los siguientes dos links corresponden al mismo video en dos plataformas diferentes)
En el siguiente video se presenta un método de resolución de sistemas que conocido como método de eliminación de Gauss aprovechando las propiedades mencionadas en el video anterior. (Los siguientes dos links corresponden al mismo video en dos plataformas diferentes)
5. Texto teórico y guía de actividades
En el texto Maestripieri, Pavón y Resmesar (2017) Notas de Álgebra Lineal. Cap. 2. Pág 49 a 63 encontrarán las definiciones y métodos explicados en los apartados anteriores.
Entre otros conceptos, en el texto anterior se indican cuántas soluciones puede tener un sistema de ecuaciones lineales, y se presenta una clasificación de los sistemas de acuerdo a la cantidad de soluciones. ¿Pudieron encontrarla?
Además, tienen el siguiente Listado de ejercicios y problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales para practicar estos conceptos.
En ese listado se indican algunos problemas de la Guía de problemas y algunos ejercicios del siguiente texto: Maestripieri, Pavón y Resmesar (2017) Notas de Álgebra Lineal. Cap. 2. Pág 78 a 81 - Ejercicios.
Les pasamos, también, el acceso al texto completo en versión digital: Maestripieri, Pavón y Resmesar (2017) Notas de Álgebra Lineal. UNGS (completo).
Recuerden dejar sus consultas en el foro y/o hacerlas en cualquiera de los encuentros presenciales.
6. Autoevaluación 10
Como parte de la evaluación continua les proponemos la Autoevaluación sobre sistemas de ecuaciones lineales. Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las Consultas, leído los textos y vistos los videos.
Libro 11 - del 9/6 al 15/6
Matrices especiales
Tabla de contenidos
4. Diferentes formas de representar un sistema de ecuaciones lineales.
5. Propiedades de las operaciones con matrices.
6. Guía de actividades y texto teórico.
1. Introducción 11
Durante las siguientes dos semanas estaremos trabajando con matrices. La autoevaluación será habilitada durante la segunda semana. Como siempre, les recomendamos que distribuyan bien el tiempo y que realicen las actividades propuestas antes de los encuentros presenciales para que puedan aprovecharlos mejor.
Las matrices y los determinantes son herramientas del Álgebra que facilitan el ordenamiento de datos y su tratamiento.
Nosotros ya tuvimos un primer encuentro con las matrices al momento de reescribir un sistema de ecuaciones para trabajar con el método de resolución de Gauss. Por ejemplo, en el apartado 4. ¿Cómo hallar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales? del Libro 10, hay un Video con un ejemplo de resolución mediante el método de eliminación de Gauss en el que se presenta una resolución del sistema:
Para ello, el profesor del video escribe la matriz ampliada asociada al sistema:
Durante esta semana presentaremos algunas matrices especiales, definiremos la suma de matrices, la multiplicación de un número por una matriz y la multiplicación de matrices.
Al realizar los ejercicios y problemas que les proponemos surgirán algunas cuestiones particulares que se dan con estos objetos y las operaciones entre ellos. Recuerden que tienen el foro Consultas.
En el siguiente video se explica qué es una matriz, qué es la dimensión y cómo se identifican sus elementos.
2. Matrices especiales
En el siguiente video se muestran distintos tipos de matrices especiales: matriz fila, matriz columna, matriz nula, matriz cuadrada.
En el siguiente video se muestran distintos tipos de matrices cuadradas especiales y algunos de sus elementos: diagonal principal, traza, matriz triangular superior, matriz triangular inferior, matriz triangular inferior, matriz diagonal, matriz identidad, matriz escalar.
En el siguiente video presentamos a la matriz traspuesta.
3. Operaciones con matrices
En el siguiente video se explica la suma de matrices.
En el siguiente video se explica la resta de matrices.
En el siguiente video se explica cómo multiplicar una matriz por un escalar.
En los siguientes videos se explica el producto de matrices.
4. Diferentes formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Dado un sistema de ecuaciones lineales podemos representarlo con matrices. En el siguiente video, el profesor Gastón nos cuenta cómo pensarlo:
Les proponemos que piensen el problema 20 de la página 58 de la Guía de problemas. Luego, pueden ver el siguiente video en el que el profesor Martín C. nos muestra parte de la resolución del primer ítem.
5. Propiedades de las operaciones con matrices
¿Qué propiedades cumple la suma y la resta de matrices? ¿Y el producto de un escalar por el de una matriz?
En el siguiente video, el profesor Daniel, nos cuenta qué sucede con la (no) conmutatividad de la multiplicación de matrices.
¿Se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices con respecto a la suma?
En el siguiente recorte del libro Howard, A. (1994). Introducción al Álgebra Lineal se presentan algunas propiedades.
6. Guía de actividades y texto teórico
A continuación, pueden realizar los ejercicios de la Guía de actividades sobre operaciones con matrices.
Si lo desean, pueden consultar teoría sobre este tema en Altman, Comparatore y Kurzrok (2001). Matemática 7: matrices. Pág 11 a 78. Tengan en cuenta que pesa poco menos que 34 MB y que puede tardar un poco en bajar.
Libro 12 - del 16/6 al 22/6
Inversa de una matriz
Tabla de contenidos
3. Material teórico y actividades.
1. Introducción 12
El conjunto de los números reales junto con la suma y la multiplicación y los neutros de cada operación tiene una estructura muy particular, conforman lo que se llama cuerpo. Por ejemplo, sabemos que el es el neutro de la suma, es decir, cualquier número real sumado a da el mismo número real del principio. Sabemos que para cada número real existe un número que sumado al primero me da el , este número recibe el nombre de opuesto del número , y lo notamos como . Es decir, que .
La multiplicación tiene a como neutro: . La multiplicación cumple con la propiedad conmutativa (al igual que la suma), es decir, para cualesquiera dos números reales y vale que .
¿Qué sucede con las matrices? Bueno, en principio tanto para sumar matrices como para multiplicarlas, el tamaño debe ser el que corresponda en cada caso. ¿Cómo deben ser dos matrices para que puedan sumarse? ¿Cuál es el tamaño que deben tener dos matrices para que puedan multiplicarse? En el libro de la Libro 11 les pasamos un Texto con las propiedades de las operaciones con matrices del libro Howard, A. (1994). Introducción al Álgebra Lineal con un resumen de propiedades de las operaciones entre matrices, y de un escalar por una matriz.
Una cuestión que también planteamos en el libro anterior es si ocurre o no que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad conmutativa (pueden revisar el Video sobre la no conmutatividad de la multiplicación de matrices). Bueno, en general no se cumple, hay algunos ejemplos en los que sí, pero no en todos los casos.
Otra cuestión, y es la que vamos a trabajar esta semana, tiene que ver con la idea relacionada con procesos reversibles. Por ejemplo, pensemos esto primero en el conjunto de los números reales. Si tenemos la multiplicación , eso da un número real , en algunos casos es posible, teniendo y , volver a obtener . Lo hacemos dividiendo por . Pero si no quisiéramos acudir a una operación distinta, si quisiéramos quedarnos con la multiplicación, también podemos “desandar” el camino si a lo multiplicamos por el inverso de , es decir si hacemos la cuenta . Recordemos no tiene inverso, pero el resto de los números reales sí.
En particular, si tenemos una ecuación en el conjunto de los números reales y es distinto de , podemos multiplicar ambos miembros por el inverso multiplicativo de y logramos despejar la incógnita . De esta manera queda, .
¿Qué sucederá en el caso de que tengamos una ecuación con matrices?
Retomamos estas ideas en el siguiente apartado.
2. Inversa de una matriz
En el siguiente video el profesor Martín C. retoma algunas de las cuestiones que venimos mencionando en la introducción de este libro. Recuerden que siempre que podamos, les vamos a estar pasando el mismo video en dos plataformas:
En el siguiente video el profesor Martín T. calcula la matriz inversa de una matriz de usando el método de Gauss-Jordan. Aprovechamos también para pensar el significado de la matriz inversa al momento de hacer cuentas.
¿Todas las matrices son inversibles? En el siguiente video tratamos de encontrar una matriz inversa de una matriz de , en una de ellas nos encontramos con un inconveniente, ¿qué significa? ¿lo podemos pensar geométricamente?
3. Material teórico y actividades
Les proponemos que realicen las actividades del siguiente Listado de ejercicios y problemas sobre matriz inversa.
Si lo creen necesario pueden acudir a la sección de matriz inversa del libro de Maestripieri, Pavón y Resmesar (2017) Notas de Álgebra Lineal. Cap. 2. Pág. 101 a 108.
4. Autoevaluación 12
Como parte de la evaluación continua les proponemos la Autoevaluación sobre matrices. Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre. Esta autoevaluación involucra temas de este libro y del anterior.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las Consultas, leído los textos y vistos los videos.
Libro 13 - del 23/6 al 29/6
Determinante
Tabla de contenidos
2. Determinante de matrices de .
3. Determinante de matrices de .
4. Determinantes de matrices de nxn.
5. Propiedades de los determinantes.
6. Determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y matriz inversa.
1. Introducción 13
En esta tercera unidad comenzamos trabajando con sistemas de ecuaciones lineales a partir del Libro 10. Vimos que el hecho de usar matrices para resolver los sistemas por el método de Gauss simplifica la notación. Luego, comenzamos con el trabajo con matrices en el Libro 11,. Allí definimos la suma y la multiplicación de matrices, entre otros aspectos. También, notamos que podemos pensar en ecuaciones matriciales, es decir, ecuaciones donde los objetos que intervienen son matrices, y particularmente las incógnitas también lo son. A raíz de esto, pensamos en la noción de matriz inversa en el Libro 12.
Todo eso nos lleva a pensar si es posible encontrar una forma de anticipar qué matrices son inversibles y cuáles no, qué sistemas de ecuaciones tienen única solución y cuáles no. En este libro trabajaremos con una noción que nos permite hacer esa anticipación. Su nombre es determinante de una matriz. Lo que sigue tiene sentido para matrices cuadradas.
2. Determinante de matrices de
En el siguiente video, comenzamos pensando esta idea mencionada en el párrafo anterior para matrices de a partir del problema 36 de la página 64 de la Guía de problemas. Les recomendamos que primero intenten pensarlo ustedes. Les recordamos que siempre que nos sea posible les pasaremos el mismo video en dos plataformas.
En el video el profesor Marcelo comienza contándonos una idea de por qué tiene sentido pensar en el determinante.
Pero, ¿qué es el determinante de una matriz de ? ¿Cómo se calcula? No se queden con estas dudas. Si es así, por favor, vuelvan a ver el video, realicen sus consultas en el foro y/o en los encuentros presenciales.
3. Determinante de matrices de
Si aún te quedaron dudas sobre cómo se calcula el determinante de una matriz de , en el siguiente video, el profesor Marcelo comienza recordando. ¿Es posible extender esta idea a matrices de ? En el video el profesor nos lo cuenta.
¿Se puede obtener el determinante de una matriz de ? ¿Cómo?
4. Determinantes de matrices de nxn
¿Es posible extender la idea de determinante a matrices de otros tamaños? El profesor Daniel nos lo cuenta en el siguiente video.
5. Propiedades de los determinantes
En el siguiente video, el profesor Gastón nos presenta algunas propiedades de los determinantes. La veracidad de estas propiedades puede demostrarse (en varios libros lo hacen). Les acercamos el capítulo sobre determinantes del libro Grossman y Flores (2012) Álgebra lineal. Cap. 3. Pág 176 a 230. Nos limitaremos a presentar algunas de esas propiedades y mostrar algún ejemplo en el que las aplicamos. Invitamos a que ustedes calculen el determinante de las matrices de los ejemplos del video usando la definición y verifiquen que da lo mismo si aplican la propiedad.
6. Determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y matriz inversa
Por último, queremos mencionar dos propiedades importantes en relación con los determinantes, la inversiblidad de una matriz y la cantidad de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales:
Sea A una matriz cuadrada de n×n, entonces, las proposiciones que siguen son equivalentes:
- El determinante de la matriz es distinto de .
- La matriz es inversible.
- El sistema tiene una única solución.
Que las proposiciones sean equivalentes significa que si se cumple una de ellas, entonces, se cumplen todas las demás. Y si no se cumple alguna de ellas, entonces, tampoco se cumplen las demás.
En este caso, lo que sucede es que un sistema deecuaciones con incógnitas tiene única solución si y sólo si el determinante de la matriz asociada es distinto de . Y que un sistema de ecuaciones con incógnitas tiene única solución si y sólo si la matriz asociada es inversible. Y que una matriz es inversible si y sólo si el determinante es distinto de .
Por otro lado, si el determinante de la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas es , eso significa que el sistema no tiene una única solución. Es decir, puede no tener ninguna o tener infinitas.
7. Ejercicios y problemas
En la Guía de trabajo con determinantes les proponemos que realicen ejercicios y problemas. En el archivo anterior les proponemos ejercicios y problemas de la Guía de problemas y de Maestripieri, Pavón y Resmesar (2017). Notas de Álgebra Lineal. Cap. 1. Pág 138 a 141.
8. Autoevaluación 13
Como parte de la evaluación continua les proponemos la Autoevaluación sobre determinantes. Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre. Esta auto evaluación involucra temas de las últimas dos semanas.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las Consultas, leído los textos y vistos los videos.
Segundo cuatrimestre
Libro 1 - del 15/8 al 24/8
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas
Tabla de contenidos
1. Introducción
2. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
3. Algunas propiedades de las soluciones de un sistema homogéneo
4. Combinación lineal de vectores y dependencia lineal
5. Independencia lineal de vectores (otra forma de pensarlo)
1. Introducción 2-1
Comenzaremos trabajando con la unidad 4: Espacios Vectoriales. Antes de meternos de lleno con alguna definición sobre esta noción queremos retomar algo del trabajo que venimos haciendo y que permite introducirnos conceptualmente en este tema.
En este libro, retomaremos el trabajo con sistemas de ecuaciones, y en especial, lo haremos con sistemas de ecuaciones en los cuales cada ecuación tiene al número 0 como su término independiente.
En el siguiente libro, continuaremos con los temas de la unidad.
2. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
Resuelvan el problema 6 que comienza en la página 82 y termina en la página 83 de la Guía de problemas.
Lean la definición de sistema homogéneo que aparece recuadrada en el problema 7 de la página 83 de la Guía de problemas y realicen lo que se pide en ese problema.
Una vez que lo pensaron, pueden ver los siguientes videos en el que el profesor Gastón aborda una resolución de estos dos problemas.
Realicen ahora el problema 8 de la Guía de problemas. Luego, pueden ver el siguiente video en el que el profesor Claudio aborda una resolución de ese problema.
3. Algunas propiedades de las soluciones de un sistema homogéneo
Vamos a generalizar algunas propiedades que se dan en relación con los sistemas homogéneos y sus soluciones. En el siguiente video el profesor Martín T. nos las muestra.
¿Cuáles son las propiedades que aparecen en el video?.
4. Combinación lineal de vectores y dependencia lineal
Observemos las soluciones de los sistemas que aparecen en los problemas 6 y 7 de la Guía. Noten que con algunos “pocos” vectores tenemos todas las soluciones siendo éstas infinitas en algunos casos.
¿Cuántos vectores son necesarios cómo mínimo para poder tener caracterizadas a todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo? ¿Sirve cualquier vector? ¿Cómo deben ser esos vectores para que efectivamente sirvan para que con ellos podamos “armar” todas las soluciones?.
Pensando en estas preguntas, vamos a ir trabajando con algunos conceptos que nos permitirán ir en búsqueda de alguna respuesta.
En el problema 14 de la página 85 de la Guía de problemas hay dos definiciones que corresponden a dos conceptos: combinación lineal de vectores y conjunto de vectores linealmente dependiente(LD). Lean esas definiciones y realicen los problemas 15 y 16 de la página 85 de la Guía de problemas. Pueden ver un abordaje de estos problemas en los siguientes dos videos de la profesora Perla.
En el problema 21 de la página 86 se define el conjunto de vectores linealmente independientes(LI). Lean la definición y realicen la actividad que se plantea allí. También hagan el problema 22. Además, chequeen si alguno de los conjuntos dados en el problema 16 es linealmente independiente. Realicen las consultas sobre estos problemas en el foro.
5. Independencia lineal de vectores (otra forma de pensarlo)
Si tenemos un conjunto de vectores con un solo vector como elemento ¿será un conjunto linealmente independiente o dependiente? ¿Nos permiten tomar esta decisión las definiciones dadas anteriormente? En el problema 25 de las páginas 86 y 87 de la Guía de problemas se presentan otras definiciones de conjunto de vectores linealmente independiente y conjunto de vectores linealmente dependiente. Además de permitirnos responder estas preguntas, estas definiciones nos permiten saber si un conjunto es linealmente independiente o linealmente dependiente de una manera más económica en el peor de los casos. En el siguiente video, el profesor Daniel nos presenta una comparación de estas definiciones y nos muestra una justificación de que (con algún ajuste) ambas definiciones son equivalentes♥. Además, nos muestra un ejemplo de cómo hacemos para saber si un conjunto es LI o LD usando esta segunda definición.
¿Y qué pasa con las preguntas que hicimos al comienzo de la sección anterior?. Éstas: ¿Cuántos vectores son necesarios cómo mínimo para poder tener caracterizadas a todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo? ¿Sirve cualquier vector? ¿Cómo deben ser esos vectores para que efectivamente sirvan para que con ellos podamos “armar” todas las soluciones?
Pueden ir pensando posibles respuestas. La semana próxima las retomamos.
♥ Que dos definiciones sean equivalentes significa que ambas definen el mismo objeto. Es decir, si ocurre cualquier objeto que cumpla con la primera definición también cumple con la segunda y, viceversa, cualquiera que cumple con la segunda, también cumple con la primera, entonces, ambas definiciones son equivalentes.
6. Autoevaluación 2-1
Como parte de la evaluación continua les proponemos la Autoevaluación sobre sistemas homogéneos y dependencia lineal. Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre. Esta autoevaluación involucra temas de las últimas dos semanas.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las Consultas, leído los textos y vistos los videos.
Libro 2 - del 25/8 al 7/9
Espacios Vectoriales
Tabla de contenidos
1. Introducción
3. Propiedades de un Espacio Vectorial
4. Algunas actividades para afianzar ideas
5. Espacio vectorial (definición formal)
6. Base y dimensión de un espacio vectorial
7. Espacios vectoriales, bases y soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo
1. Introducción 2-2
La semana anterior estuvimos trabajando con sistemas de ecuaciones lineales homogéneos. Esta semana terminaremos averiguando cuál es la mínima cantidad de vectores que necesitamos para tener todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo y cómo deben ser esos vectores. Para ello acudiremos al concepto de Espacio Vectorial. Desde ya, este concepto permite entender muchas otras cuestiones y no solo las soluciones de los sistemas homogéneos. Algunas de esas cuestiones las veremos en las siguientes unidades.
2. Espacios Vectoriales (EV)
Comenzamos con un video en el que el profesor Martín C. nos explica qué entendemos por espacio vectorial. Esto también lo encuentran en el problema 31 de la página 89 de la Guía de problemas.
Posteriormente, realicen el problema 32 de la página 89 de la Guía de problemas. Luego, vean el siguiente video en el que el profesor Claudio nos muestra una resolución posible:
3. Propiedades de un Espacio Vectorial
Hay dos propiedades importantes que cumplen los vectores que pertenecen a un espacio vectorial. En el problema 33 de la página 90 de la Guía de problemas se enuncian estas propiedades. Además, el profesor Martín T. las explica en el siguiente video:
4. Algunas actividades para afianzar ideas
Ahora les pedimos que realicen el problema 34 (pág 90) y el 35 (pág 91) de la Guía de problemas. Luego, pueden mirar los siguientes videos en los que el profesor Gastón nos muestra algunas resoluciones posibles.
El conjunto de todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es un espacio vectorial. ¿Por qué?
También realicen el problema 36 de la página 91 de la Guía de problemas. No dejen de hacer sus consultas en el foro.
No todo conjunto es un espacio vectorial. Realicen el problema 37 de la página 91 de la Guía de problemas. Luego, pueden ver una posible resolución de la profesora Perla en el siguiente video.
5. Espacio vectorial (definición formal)
En los libros de texto, se suele definir espacio vectorial en forma axiomática. Se toma un conjunto de objetos (en realidad se tomarán dos conjuntos) y un par de operaciones. Y un espacio vectorial será el conjunto de objetos con esas operaciones siempre que esas operaciones cumplan con ciertas propiedades.
Nosotros vamos a estar trabajando con espacios vectoriales en el que los vectores tienen componentes reales y los escalares son números reales. Existen espacios vectoriales en el que los vectores son otras “cosas” más raras y los escalares también.
Para ver esta definición sobre espacio vectorial, les acercamos las primeras páginas del capítulo 5 del texto siguiente.
6. Base y dimensión de un espacio vectorial
Hemos visto que con un conjunto finito de vectores (sistema de generadores) podemos “armar” infinitas combinaciones lineales de ellos y construirnos todo un espacio vectorial.
Al resolver el problema 36 vimos que es posible definir el mismo espacio vectorial a partir de diferentes sistemas de generadores. ¿Cuántos vectores cómo mínimo necesitamos para un sistema de generadores de un espacio vectorial? ¿Tienen alguna particularidad los escalares de cada combinación lineal?
Para pensar en estas preguntas, vamos a trabajar con la noción de base de un espacio vectorial.
Primero, les pedimos que realicen los problemas 38 (pág 91) y 39 (pág 92) de la Guía de problemas. Luego, vean los siguientes videos en los que el profesor Marcelo nos muestra una resolución de ambos problemas.
Hemos visto que, dado un Espacio Vectorial, es posible tener distintos sistemas de generadores de él. Es decir, con distintos conjuntos de vectores nos podemos armar el mismo Espacio Vectorial. Si nos quedamos con un cierto Espacio Vectorial, ¿cuántos vectores como mínimo puede tener un sistema de generadores? ¿depende del sistema de generadores? Los escalares, ¿tienen alguna característica en particular en el caso de que trabajemos con sistema de generadores con la mínima cantidad de vectores posibles? Para empezar a responder estas preguntas, vean el siguiente video del profesor Daniel.
¿Qué es una base de un espacio vectorial? ¿Qué es la dimensión de un espacio vectorial? ¿Qué son las coordenadas de un vector expresadas en una base de un espacio vectorial? En el video anterior se presentaron los conceptos que permiten responder estas preguntas.
En el siguiente video, el profesor Martín C. nos muestra una idea gráfica de base de un espacio vectorial.
Resuelvan los problemas 40, 41, 42, 43, 44, 45. Por favor, planteen sus inquietudes en el foro Consultas y/o en los encuentros sincrónicos.
7. Espacios vectoriales, bases y soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo
Retomamos las preguntas que habíamos hecho durante la primera semana.
¿Cuántos vectores son necesarios cómo mínimo son necesarios para caracterizar todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo? ¿Qué características deben cumplir estos vectores?
Para responder estas preguntas pueden leer el siguiente texto.
8. Autoevaluación 2-2
Como parte de la evaluación continua les proponemos la Autoevaluación sobre Espacios Vectoriales. Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre. Esta autoevaluación involucra temas de toda la unidad.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las Consultas, leído los textos y vistos los videos.
Libro 3 - del 8/9 al 14/9
Transformaciones
Tabla de contenidos
1. Introducción
2. Transformaciones entre vectores
3. Distintas formas de representación
3.1. En forma coloquial
3.2. Mediante fórmula para evaluar
3.3. Usando matrices
4. ¿Cómo hallamos una preimagen?
6. Algunas transformaciones especiales
7. Ejercitación y autoevaluación
1. Introducción 2-3
Comenzamos a trabajar con la unidad 5. En esta unidad veremos un tipo de función espacial. En estas funciones relacionamos vectores de un espacio vectorial con vectores de otro espacio vectorial (que podría ser el mismo). Y dentro de estas funciones entre espacios vectoriales, que llamaremos transformaciones, veremos unas transformaciones que tienen unas características muy particulares.
En esta primera semana, trabajaremos con transformaciones entre vectores, en general.
2. Transformaciones entre vectores
A lo largo de esta unidad trabajaremos con funciones que asignan a cada vector de un espacio vectorial un único vector de otro espacio vectorial.
Por ejemplo, supongamos que tenemos todos los vectores de y a cada vector le asignamos el vector que resulta de sumarle el vector . De esta manera, por ejemplo, al vector le corresponde el vector y al vector le corresponde el vector .
Llamaremos Transformaciones a estas funciones que relacionan vectores. Usaremos la letra para referirnos a una transformación concreta (pueden ser otras letras mayúsculas, y/o contener un subíndice).
Además, llamaremos dominio al conjunto al que pertenecen los vectores “iniciales” y codominio al conjunto al que pertenecen los vectores que asignamos a cada vector del dominio. Para simbolizar una transformación, diremos el nombre, el dominio y el codominio.
Por ejemplo, si llamamos a la transformación del ejemplo anterior, entonces, escribiremos . Esto significa que tenemos la transformación en la que a cada vector del espacio vectorial (Dominio de ) se le asigna un único vector del espacio vectorial (Codominio de ).
En el siguiente esquema mostramos qué es cada parte:
Para que quede bien definida una transformación, además de lo anterior, debemos indicar de alguna manera cuál vector del codominio se le asigna a cada vector del dominio. Es decir, algo que permita saber "quién va con quién". Es lo que llamamos ley de correspondencia o regla de asignación.
3. Distintas formas de representación
La forma que tenemos de acceder a los objetos matemáticos es a través de sus representaciones. Por ejemplo, si ahora estuvieras sentado en una silla, el objeto que está debajo tuyo tiene unas características particulares y una utilidad especial. La foto de tu silla, o el dibujo de tu silla o la palabra silla, o una descripción del objeto, no son el objeto. En este caso podemos tener el objeto y las diferentes formas de representarlo.
En el caso de los objetos matemáticos, tenemos su definición, las propiedades que podemos justificar. Y accedemos a través de alguna forma de representarlo.
En lo que sigue, les contamos diferentes maneras de representar una transformación.
3.1. En forma coloquial
Una forma de definir una transformación entre vectores en forma coloquial es como en el ejemplo anterior.
Por ejemplo, definimos la transformación que a cada vector de le asigna el vector que resulta de sumarlo con el vector .
.
3.2. Mediante fórmula para evaluar
Siguiendo con el mismo ejemplo, una manera de definir la misma transformación puede ser la siguiente:
Llamaremos imagen del vector al vector que le corresponde al vector .
Lo denotaremos con .
Es decir, significa la imagen del vector según la transformación .
Así, la imagen de según es .
En símbolos, .
Estos símbolos se leen como la oración anterior.
Para averiguar la imagen de , reemplazamos por e por en:
y hacemos la cuenta.
3.3. Usando matrices
En algunos casos es posible expresar la relación con matrices y/o vectores.
Por ejemplo, en el caso que venimos trabajando, podemos escribir la relación entre los vectores del dominio y lo de la imagen de la siguiente manera:
Algunos ejemplos de transformaciones definidas usando matrices son:
En el caso de que tengamos una transformación definida con matrices y queramos conocer el vector que el corresponde a un cierto vector del dominio, lo que hacemos es reemplazar en la variable por el vector en cuestión y realizar las operaciones entre las matrices.
4. ¿Cómo hallamos una preimagen?
Si tenemos una transformación de cierto dominio, llamémoslo , y cierto codominio , y tomamos un vector del codominio y queremos saber si hay algún vector del dominio cuyo transformado sea , ¿cómo hacemos?.
Lo que estamos buscando es una preimagen de , si es que existe.
Pensémoslo en un ejemplo, tomemos la transformación anterior y veamos si existe alguna preimagen del vector .
Es decir, buscamos, si existe, algún vector de tal que su transformado sea , o sea .
Un vector posible es , pues si resolvemos da por resultado
En el siguiente video el profesor Marcelo busca todas las preimágenes del vector por la transformación del apartado 3.3 Usando matrices. Les recomendamos que primero intenten pensarlo ustedes antes de ver el video. ¿Qué deben plantear? ¿Cómo puede resolverse eso que plantean?.
5. Resumen hasta aquí
Hemos hablado de los siguientes conceptos:
- Transformación
- Dominio
- Codominio
- Ley de correspondencia
- Imagen de un vector
- Preimagen de un vector
- Formas de representar una transformación
- Espacios vectoriales
En el siguiente archivo PDF resumimos estas ideas:
6. Algunas transformaciones especiales
Las transformaciones nos permiten, en particular, pensar ciertas transformaciones geométricas. Por ejemplo, las simetrías o las rotaciones.
En el siguiente video el profesor Martín T. introduce la simetría axial en el plano.
Como hemos mencionado, algunas transformaciones pueden ser definidas usando matrices. A continuación, el profesor Daniel nos presenta la rotación en el plano. En este video nos proponemos hallar la matriz genérica de rotación de un ángulo con respecto al origen de coordenadas en .
Profundizaremos sobre estas transformaciones en las siguientes semanas.
7. Ejercitación y autoevaluación 2-3
Les proponemos que realicen los siguientes ejercicios y problemas.
Como parte de la evaluación continua les proponemos la Autoevaluación sobre transformaciones. Ingresen al cuestionario para ver la fecha de apertura y la de cierre. Esta autoevaluación involucra temas de las últimas dos semanas.
El puntaje que se obtiene en la autoevaluación sólo debe tomarse como un porcentaje de resolución correcta.
Esperamos que para cuando sea el momento de realizar la autoevaluación hayan podido realizar las actividades de práctica, realizado las consultas, leído los textos y vistos los videos.
Libro 4 - del 15/9 al 5/10
Núcleo e Imagen
Tabla de contenidos
1. Introducción
2. Dos propiedades que definen a las transformaciones lineales
3. Hallando imágenes a partir de las propiedades de una TL
4. Hallando la matriz de una transformación lineal
5. Algunas transformaciones geométricas que son TL
6. Núcleo, Imagen y Teorema de la dimensión
6.1. Núcleo de T
6.2. Imagen de T
6.3. Núcleo e Imagen de una TL son espacios vectoriales
6.4. ¿Cómo queda determinada una TL?
6.5. Teorema de la dimensión y caracterización de la solución de los sistemas homogéneos
7. Ejercitación y Autoevaluación
1. Introducción 2-4
En el Libro 4 comenzamos a trabajar con transformaciones de en . Éstas son funciones que asignan a cada vector del primer conjunto un único vector del segundo conjunto.
Vimos cómo obtener la imagen de algún vector a partir de la fórmula de la transformación, o a través de su expresión matricial. También trabajamos cómo encontrar la preimagen de un vector del segundo conjunto, es decir, dado un vector del segundo conjunto, encontrar un vector cuyo transformado sea aquel vector dado.
Además, vimos dos transformaciones geométricas especiales: la simetría con respecto a una recta y la rotación con respecto a un punto.
De todas las transformaciones posibles, existen algunas que tienen dos propiedades especiales. A lo largo de estas tres semanas, les proponemos trabajar con estas transformaciones.
2. Dos propiedades que definen a las transformaciones lineales
De todas las transformaciones posibles entre vectores de espacios vectoriales, trabajaremos con unas particulares que se llaman transformaciones lineales(TL). Hay dos propiedades especiales que cumplen las transformaciones lineales. El profesor Gastón explica en qué consisten estas propiedades en el siguiente video:
Podemos representar la ley de correspondencia de cualquier transformación lineal de en con una matriz de . En el siguiente video el profesor Gastón nos habla de esto.
3. Hallando imágenes a partir de las propiedades de una TL
En los videos anteriores pudimos ver cómo conseguir el transformado de un vector conociendo los transformados de otros dos. Para ello usamos que el primer vector es combinación de los otros dos, y además, aprovechamos las dos propiedades que definen a las transformaciones lineales. Por ejemplo, si tenemos una transformación lineal T de en que le asigna al vector el vector y asigna al vector el vector , entonces,
¿qué vector le asigna al vector ?.
Bueno, será la misma combinación lineal, pero de los vectores transformados.
Es decir, , que es el vector .
O sea que el transformado del vector es el vector .
En el siguiente video el profesor Marcelo nos muestra un ejemplo como éste.
Entonces, a partir de conocer los transformados de algunos vectores, podemos conocer los transformados de infinitos vectores. ¿Cualquier vector es una combinación lineal de otros dados? ¿De cuántos vectores necesitamos conocer sus transformados (por una transformación lineal) para conocer el transformado de todos? En el siguiente vídeo repasamos con el profesor Daniel la noción de combinación lineal, la noción de independencia/dependencia lineal de un conjunto de vectores para ir tras la respuesta de preguntas como las anteriores.
A partir del video anterior podemos ver que con un conjunto linealmente independiente de vectores podemos conseguir todos los vectores de . Es decir, cualquier vector de es una combinación lineal de los vectores de un conjunto linealmente independiente con vectores.
Por ejemplo, cualquier vector de es una combinación lineal de los vectores , y .
4. Hallando la matriz de una transformación lineal
Como vimos en el segundo video, podemos representar una transformación lineal de en usando matrices. En el siguiente video el profesor Marcelo nos muestra un posible camino para hallar la matriz de una transformación lineal de en . Vamos a trabajar con la misma transformación del tercer video.
A continuación, el profesor Marcelo trabaja con otro ejemplo en el que hallamos la matriz de una transformación lineal de en a partir de conocer tres vectores (que forman un conjunto linealmente independiente) y sus transformados.
En el siguiente video, el profesor Marcelo, busca la matriz de una transformación lineal de en a partir de conocer tres vectores (que forman un conjunto linealmente independiente) y sus transformados.
5. Algunas transformaciones geométricas que son TL
Hay algunas transformaciones geométricas que son transformaciones lineales. Algunas de ellas son la simetría con respecto a una recta que pasa por el origen de coordenadas en y en , la rotación de cualquier ángulo con centro el origen de coordenadas en , la simetría con respecto a un plano en , la proyección ortogonal sobre una recta por el origen en y en , la proyección ortogonal sobre un plano por el origen en , entre otras.
A veces es sencillo conocer algunos transformados. Por ejemplo, si queremos conocer la matriz de simetría respecto del plano Podemos primero intentar conocer tres vectores y sus transformados. Por ejemplo, cualquier vector que pertenece al plano se transforma en sí mismo, y cualquier vector perpendicular al plano se transforma en su opuesto. Así que tenemos que, por ejemplo:
,
y
Luego, como tenemos tres vectores de LI y sus transformados, podemos proceder como en los videos anteriores para hallar la matriz de la transformación.
En el siguiente video, retomamos la simetría con el profesor Martín T. En este caso, buscamos con GeoGebra el transformado del y del .
6. Núcleo, Imagen y Teorema de la dimensión
En esta sección abordaremos algunas propiedades de las transformaciones lineales. En particular, veremos que con conocer las imágenes de "algunos" vectores del dominio podremos tener las imágenes de todos los vectores del dominio.
6.1. Núcleo de T
En primer lugar, notemos que en cualquier transformación lineal ocurre que el transformado del vector nulo de es el vector nulo de . Es decir, que . Esto se deduce en un renglón a partir de una de las dos propiedades iniciales que definen a las transformaciones lineales y teniendo en cuenta que el vector nulo es igual al número multiplicado por cualquier vector.
¿Es el vector nulo el único vector del dominio de que se transforma en el nulo? La respuesta es no. Hay ejemplos de transformaciones lineales en las que existen otros vectores cuyo transformado es el nulo. Por ejemplo, si pensamos en una proyección ortogonal de en con respecto al plano . Es decir, cualquier punto del espacio se transforma en un punto sobre el plano de modo que el segmento que une al vector y su transformado es perpendicular al plano. ¿Quiénes son los vectores que se transforman en el nulo? O sea, ¿cuáles puntos del espacio que se proyectan perpendicularmente al plano van a parar al origen? Piénsenlo… Bueno... lo decimos... Cualquier punto que esté sobre la recta perpendicular al plano por el origen, en definitiva, cualquier vector perpendicular al plano, se proyectó sobre el vector nulo. En este ejemplo, esta transformación puede definirse así (pueden intentar buscarla, para ello tengan en cuenta que cualquier vector del plano se transforma en sí mismo):
Pueden comprobar que los vectores perpendiculares al plano se transforman en el nulo usando la matriz de la transformación.
Definición:
Sea una transformación lineal.
Llamaremos al conjunto de todos los vectores del dominio ( en este caso) que se transforman en el vector nulo. Es decir, el Núcleo está formado por todos los vectores tales que . Al Núcleo también se lo suele llamar y lo notamos o . Este conjunto es análogo al llamado conjunto de raíces o ceros de las funciones sobre los reales.
6.2. Imagen de
Por otro lado, notemos que en el ejemplo de la proyección con el que venimos trabajando, no todos los vectores del espacio son obtenidos como imagen de algún vector del dominio. Puede resultar intuitivo que como se trata de una proyección sobre un plano, todos los transformados obtenidos serán vectores del plano, y entonces, no se podrán obtener vectores que no están en él. Pueden comprobar qué sucede si intentamos buscar una preimagen del vector
Definición:
Sea una transformación lineal.
Llamaremos Imagen de conjunto de todos los vectores del codominio de que son imágen de algún vector del dominio de la transformación. Es decir, la Imagen está formada por todos los vectores para los cuales existe tal que . A la imagen también se la suele llamar Recorrido de T y lo notamos .
6.3. Núcleo e Imagen de una TL son espacios vectoriales
Notemos que buscar el núcleo de una transformación lineal implica resolver un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. En el apartado Algunas propiedades de las soluciones de un sistema homogéneo del Libro 1 vimos que las soluciones de los sistemas homogéneos cumplen con las propiedades que caracterizan a los espacios vectoriales y que mencionamos en el apartado Propiedades de un Espacio Vectorial del Libro 2. En definitiva, el Núcleo de cualquier transformación lineal es un espacio vectorial (es un subespacio vectorial de .
.
Algo similar ocurre con la imagen. Si queremos hallar la imagen de una transformación lineal, según vimos, planteamos al producto de la matriz por el vector genérico del dominio como combinación lineal. Finalmente, tenemos un sistema de generadores de un espacio vectorial. Y podemos plantear una base.
A partir de estas dos cuestiones, podemos plantear el siguiente teorema (para ver una demostración pueden consultar la página 258 del libro Howard, A. (1994). Introducción al Álgebra Lineal.).
Teorema:
Si es una transformación lineal, entonces...
... Es un espacio vectorial.
... Es un espacio vectorial.
Ejemplos
En el siguiente video, el profe Gastón nos muestra:
Al verlo, notarán que se necesita resolver un sistema homogéneo. Para repasar sobre esto, pueden volver a revisar los temas del Libro 1 de esta segunda parte y/o del Libro 10 de la primera parte.
En el siguiente video, el profe Claudio nos muestra:
En este caso, habrán advertido que es importante reconocer si un conjunto de vectores es linealmente independiente o no. En el siguiente video, el profe Martín T. nos muestra ejemplos de cómo averiguar esto:
6.4. ¿Cómo queda determinada una TL?
Por lo tanto, si tanto el Núcleo como la Imagen son espacios vectoriales, ambos quedan completamente caracterizados a partir de una base. Además, supongamos que es una base del espacio vectorial y, además, Es una transformación lineal. En caso de que conozcamos las imágenes de los vectores de la base por la la transformación lineal , es decir, si sabemos que con , entonces, conoceremos la imagen de cualquier vector del dominio de , o sea de .
En efecto, para cualquier vector , existen escalares tales que . Y, aprovechando la propiedad que define a las transformaciones lineales tenemos que:
Es decir, una transformación lineal queda completamente determinada si conocemos las imágenes de los vectores de una base del dominio.
6.5. Teorema de la dimensión y caracterización de la solución de los sistemas homogéneos
Finalmente, presentamos el teorema de la dimensión que relaciona las dimensiones del dominio, Núcleo e Imagen de la transformación lineal.
Teorema de la dimensión
Si , entonces, la suma de la dimensión del Núcleo más la dimensión de la Imagen es igual a la dimensión del Dominio de T. Es decir:
Una consecuencia inmediata de este teorema nos permite caracterizar a las soluciones de cualquier sistema de ecuaciones lineales homogéneo.
Teorema
Si es una matriz de , entonces, la dimensión del espacio vectorial de soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneo asociado a la matriz es .
.
En donde es el rango de , es decir, la cantidad de vectores columna (o vectores fila) de la matriz que forman un conjunto linealmente independiente.
7. Ejercitación y Autoevaluación 2-4
Ejercitación
Para ejercitar sobre el tema que trabajamos en este libro, tienen el Listado de actividades para realizar sobre transformaciones lineales. La idea es que los puedan pensar y hacer (si se juntan para hacerlos, mejor) y plantear sus dudas y resoluciones en el foro Consultas y en el aula. Para uno de los ejercicios de práctica van a necesitar los Archivos GGB para el problema 24 de la página 110 de la Guía.
Autoevaluación
Durante la segunda de estas dos semanas tendrán habilitada la Autoevaluación sobre transformaciones lineales que forma parte de la evaluación continua (ingresen para poder ver la fecha de habilitación).
Libro 5 - del 6/10 al 19/10
Autovector y Autovalor
Tabla de contenidos
1. Introducción
2. Definición de autovector y de autovalor
3. Una primera propiedad de los autovectores
4. ¿Cómo hallamos los autovalores y autovectores conocida la matriz de la transformación lineal?
6. Propiedades de las matrices diagonalizables
7. Ejercitación y Autoevaluación
1. Introducción 2-5
Venimos trabajando con transformaciones lineales. Lo último que estuvimos planteando fue hallar la matriz de una transformación lineal de en conocidos vectores y sus transformados. En este tema, trabajaremos únicamente con transformaciones lineales de en . Es decir, transformaciones lineales que relacionan vectores de un espacio vectorial con vectores del mismo espacio vectorial.
Para introducir el tema que vamos a estar abordando estas dos semanas, vamos a resolver dos ejemplos como los que mencionamos en el párrafo anterior, pero los datos tienen una particularidad.
En el siguiente video el profesor Martín C. halla la matriz de una transformación lineal de en a partir de conocer 3 vectores que forman un conjunto linealmente independiente y los transformados de estos 3 vectores. Los vectores dados tienen la particularidad de que se transforman en múltiplos escalares de sí mismos.
En el ejemplo del video anterior, la matriz de la transformación lineal se consigue haciendo la multiplicación.
Les dejamos la cuenta para ustedes.
En el siguiente video, trabajamos con un ejemplo similar al video anterior, pero en este caso, lo hacemos con una transformación lineal de en .
2. Definición de autovector y de autovalor
A partir de los ejemplos anteriores, y de lo particular que resultó la manera en la que quedó la forma de hallar la matriz de una transformación lineal, cobran sentido las definiciones de autovalor y autovector que el profesor Gastón presenta en el siguiente video.
En el siguiente video, el profesor Gastón nos muestra algunos ejemplos conceptuales de autovalores y autovectores asociados a distintas transformaciones lineales.
3. Una primera propiedad de los autovectores
Dada una transformación lineal de en , si el vector es un autovector de la transformación de autovalor asociado , entonces, cada vector de la recta es también autovector de de autovalor .
Por ejemplo, en la transformación lineal del ejemplo del segundo video, resulta que el vector es autovector de la transformación lineal que allí se trabaja, asociado al autovalor pues se transforma en el vector . Según la propiedad que enunciamos en el párrafo anterior, entonces, sucede que cualquier múltiplo del es autovector de la transformación. Por ejemplo, el vector .
4. ¿Cómo hallamos los autovalores y autovectores conociendo la matriz de la transformación lineal?
En el siguiente video, el profesor Marcelo da una explicación teórica que responde a la pregunta del título de esta parte.
Los siguientes dos videos corresponden a la parte 1 y a la parte 2, respectivamente, de ejemplos en el que el profesor Marcelo halla los autovectores y los autovalores de una matriz.
Parte 1
Parte 2
5. Diagonalización
Volvemos a los videos del comienzo de este tema. En el video que aparece más abajo, le damos forma a lo que planteamos en los dos videos iniciales.
Previamente, queremos revisar un asunto. Nosotros trabajamos con independencia lineal de vectores. Mencionamos en algún libro anterior que un conjunto de vectores es linealmente independiente si cada uno de los vectores no puede expresarse como combinación lineal de los otros. O de otra manera, un conjunto es linealmente independiente, si el vector nulo, únicamente se consigue como combinación lineal de los vectores del conjunto con escalares todos . También habíamos mencionado que con vectores de que formen un conjunto linealmente independiente logramos conseguir todos los vectores de , en el sentido de que, cualquier vector de es combinación lineal de esos vectores. Bien, recordemos que a ese conjunto de vectores de que forman un conjunto linealmente independiente lo llamamos base del espacio vectorial . Esto es así pues la base genera al espacio vectorial y, además, es el conjunto con la menor cantidad de vectores que lo hace.
En el siguiente video, el profesor Daniel trabaja con la noción de diagonalización de matrices. Este concepto retoma lo que planteamos en la resolución de los problemas del comienzo. Además, de todas las aplicaciones que tiene, elegimos ahora contar una relacionada con la potencia de matrices.
6. Propiedades de las matrices diagonalizables
Finalmente, mencionamos algunas propiedades de las matrices diagonalizables, los autovectores y los autovalores.
Teorema:
Una matriz es diagonalizable, si y sólo si, tiene autovectores que forman un conjunto linealmente independiente.
Teorema:
Si una matriz tiene asociado autovalores reales distintos, entonces, la matriz es diagonalizable.
La recíproca de este teorema no es cierta. Es decir, hay matrices diagonalizables que no tienen autovalores distintos.
Un ejemplo es la matriz de la transformación lineal del primer video. Si hicieron la cuenta debió quedarles:
Esta matriz es diagonalizable, y tiene como autovalores únicamente al y al . No nos crean, corrobórenlo.
7. Ejercitación y Autoevaluación 2-5
Ejercitación
Para ejercitar sobre el tema que trabajamos en este libro, tienen el Listado de ejercicios y problemas para trabajar con autovectores, autovalores y diagonalización. La idea es que los puedan pensar y hacer (si se juntan para hacerlos, mejor) y plantear sus dudas y resoluciones en el foro Consultas y en los momentos presenciales en el aula.
Autoevaluación
Durante la segunda de estas dos semanas tendrán habilitada la Autoevaluación sobre autovectores, autovalores y diagonalización que forma parte de la evaluación continua.
Libro 6 - del 20/10 al 2/11
Números complejos
Tabla de contenidos
1. Introducción
2. Forma binómica de un número complejo
3. Representación gráfica. Argumento principal y módulo
5. Propiedad de la multiplicación de los números complejos
6. Actividades y texto teórico
1. Introducción 2-6
Para comenzar esta unidad, les proponemos que primero piensen y resuelvan el siguiente problema:
Consideren la transformación lineal
En caso de ser posible, busquen los autovectores y autovalores de . Den argumentos geométricos y algebraicos.
Recuerden que si tienen alguna duda pueden plantearla en el foro consultas.
Ahora, el profesor Gastón nos propone una resolución del problema anterior en el siguiente video. Primero hace una mirada gráfica y luego una resolución analítica. Finalmente, dará introducción al tema central de esta unidad.
2. Forma binómica de un número complejo
En el video de la introducción surgió la necesidad de inventar un número que elevado al cuadrado da .
.
A partir de esto, es que trabajamos con un nuevo conjunto numérico que en algún sentido incluirá a los conjuntos numéricos anteriores () y que sea una extensión de éste.
En el siguiente video, el profesor Marcelo define la forma binómica de un complejo y las operaciones suma, resta y multiplicación entre ellos.
En el siguiente video, el profesor Marcelo define el inverso de un complejo y la división entre números complejos.
3. Representación gráfica. Argumento principal y módulo
Ahora vamos a pensar en una forma gráfica de representar a los números complejos. Para representar gráficamente a los números reales usamos una recta, y asociamos a cada punto de la recta un número real. ¿Cómo será el caso de los complejos? ¿Alcanza una recta?
En el siguiente video, el profesor Martín T. nos explica cómo representamos gráficamente un número complejo. Además, nos presenta una forma de caracterizarlos: el módulo y el argumento principal.
4. Forma trigonométrica
En el video de la sección anterior hablamos de Argumento principal y módulo de un complejo. Vimos cuál relación tienen estas características con la representación gráfica. ¿Qué relación hay entre el argumento principal y el módulo de un número complejo y la forma binómica?
En los siguientes dos videos, el profesor Martín C. explora esta cuestión. En el primero se presenta la forma trigonométrica de un complejo, y en el segundo, se muestra un ejemplo de pasaje de una forma de representación a la otra.
5. Propiedad de la multiplicación de los números complejos
En el siguiente video, el profesor Daniel nos muestra una forma gráfica de visualizar la multiplicación de los números complejos. Luego, justificamos una propiedad de la multiplicación.
6. Actividades y texto teórico
Les proponemos que realicen los siguientes ejercicios y resuelvan problemas.
Además, compartimos con ustedes un texto con explicaciones sobre números complejos.
7. Autoevaluación 2-6
Durante la segunda de estas dos semanas tendrán habilitada la Autoevaluación sobre números complejos que forma parte de la evaluación continua.